【学习笔记】DFA的构造

虽然平时做过但是考场上肯定还是不会，不过没事干还是写一下吧

$\text{Myhill-Nerode}$ 定理：给定一个语言$L$，定义在字符串上一个关系为，若对于所有的$z$，$xz$在$L$中当且仅当$yz$在$L$中，则称$x,y$在同一个等价类中。因此它把所有有限字符串的集合划分成一个或多个等价类。

$\text{Myhill-Nerode}$ 定理声称在$L$的最小自动机中状态的数目等价于在$L$中诱导出的等价类的数目。

容易发现，语言$L$可以被有限状态机接受，当且仅当等价类的数目是有限的。

Gym 102586J

考虑用等价类构造$DFA$，还要为每一类找一个代表元。这里必须指出的是，$L$中的字符串一定在同一个等价类中，这个等价类也是接收点。

这里假定有限字符串集合长度不超过$L$，然后暴搜求出每个字符串的等价类即可。

如何证明取$L=10$的正确性？思维小实验

假设存在一个$DFA$ $d(k)$能正确识别长度不超过$k$的好串，据此可以构造出一个$NFA$能正确识别长度不超过$k+2$的好串（其构造方法是，在原$DFA$的基础上建立$ϵ$，然后建一个子$DFA$表示操作的长度为$3$的段，再用$ϵ$连回在原$DFA$中所对应的字符边即可），再将其转化为$DFA$ $d(k+2)$（最常用的方法是幂极构造），并最小化。

如果$d(k)$等价于$d(k+2)$，我们就能得到$d(k)=d(k+2)=d(k+4)=\cdots$ ，这也就是我们所要求的$DFA$。验证即可。

CF956F

考虑构造一个$FA$来识别不超过$n$位的$f(m)\le k$的数字串

$FA$的状态是背包容量，字母表是$0\sim 9$，原来状态是$c$，读入一个数字$d$，可以转移到$c+d$和$|c-d|$，显然这是一个$NFA$，可以设置状态数为$100$，然后大力幂集转移。

可以用长度为$100$的$\text{bitset}$实现幂集，用一个哈希表记录某个$\text{bitset}$出现过没有。

理论复杂度$O(2^{100})$。这非常不科学。这种方法还是比较大胆的。

我完全没这个魄力好吧

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,K,tot,to[N][10],c[100],len;
ll l,r,dp[N][20][10];
map<__int128,int>id;
__int128 has(bitset<100>&b){__int128 x=0;for(int i=99;i>=0;i--){x*=2;if(b[i])x++;}return x;
}
int dfs(bitset<100>&b){int x;if(id[has(b)])return id[has(b)];x=id[has(b)]=++tot;for(int i=0;i<10;i++){if(b._Find_first()<=i)dp[tot][0][i]=1;}for(int i=0;i<10;i++){bitset<100>b2=(b<<i)|(b>>i);for(int j=0;j<i;j++)if(b[j])b2[i-j]=1;to[x][i]=dfs(b2);}return x;
}
ll dfs2(int x,int y,int z){if(!z)return dp[y][x][K];if(x==0)return dp[y][0][K];ll res=0;for(int i=0;i<=c[x];i++){res+=dfs2(x-1,to[y][i],i==c[x]);}return res;
}
ll solve(ll x){len=0;while(x)c[++len]=x%10,x/=10;return dfs2(len,1,1);
}
int main(){bitset<100>e;e[0]=1;int T;cin>>T,dfs(e);for(int l=0;l<10;l++){for(int i=1;i<=18;i++){for(int j=1;j<=tot;j++){for(int k=0;k<10;k++){dp[j][i][l]+=dp[to[j][k]][i-1][l];}}} }while(T--){cin>>l>>r>>K;cout<<solve(r)-solve(l-1)<<"\n";}
}