16 粒子滤波
文章目录
- 16 粒子滤波
- 16.1 背景介绍
- 16.1.1 Particle Filter是什么?
- 16.1.2 Patricle Filter的状态如何转移?
- 16.1.3 如何通过采样求解Particle Filter
- 16.2 重要性采样
- 16.2.1 重要性采样方法
- 16.2.2 Sequential Importance Sampling
- 16.2.3 Resampling
- 16.2.4 采样总结——Basic Particle Filter
- 16.3 具体算法——SIR Filter
16 粒子滤波
16.1 背景介绍
16.1.1 Particle Filter是什么?
Dynamic Model包含:
- HMM——关注Decoding问题
- Linear Dynamic System——关注Filtering问题
- Patricle Filter——Nan-Linear,Nan-Gauss,关注Filtering问题
16.1.2 Patricle Filter的状态如何转移?
在HMM中有 λ = ( π , A , B ) \lambda = (\pi, A, B) λ=(π,A,B),用于表示状态转移矩阵和发射矩阵。
由于Linear Dynamic System和Particle Filter中的隐变量与观测变量连续,状态转移矩阵和发射矩阵不用矩阵A、B表示,表示为:
Z t = g ( Z t − 1 , u , ε ) ↦ A X t = h ( Z t , u , δ ) ↦ B \begin{align} Z_t & = g(Z_{t-1}, u, \varepsilon) \mapsto A \\ X_t & = h(Z_t, u, \delta) \mapsto B \end{align} ZtXt=g(Zt−1,u,ε)↦A=h(Zt,u,δ)↦B
在Kalman Filter中我们假设以上两个公式均为线性,且噪声为Gauss。表示为:
Z t = A ⋅ Z t − 1 + B + ε ε ∽ N ( 0 , Q ) X t = C ⋅ Z t + D + δ δ ∽ N ( 0 , R ) \begin{align} Z_t & = A \cdot Z_{t-1} + B + \varepsilon & \varepsilon \backsim N(0, Q) \\ X_t & = C \cdot Z_t + D + \delta & \delta \backsim N(0, R) \end{align} ZtXt=A⋅Zt−1+B+ε=C⋅Zt+D+δε∽N(0,Q)δ∽N(0,R)
回顾:Kalman Filter通过预测+更新的方式求解Filtering问题
Step1: 求解Prediction问题
P ( Z t ∣ x 1 , … , x t − 1 ) = ∫ Z t − 1 P ( Z t ∣ Z t − 1 ) ⋅ P ( Z t − 1 ∣ x 1 , … , x t − 1 ) d Z t − 1 P(Z_{t} | x_1, \dots, x_{t-1}) = \int_{Z_{t-1}} P(Z_t | Z_{t-1}) \cdot P(Z_{t-1} | x_1, \dots, x_{t-1}) {\rm d}_{Z_{t-1}} P(Zt∣x1,…,xt−1)=∫Zt−1P(Zt∣Zt−1)⋅P(Zt−1∣x1,…,xt−1)dZt−1
Step2: 求解update问题
P ( Z t ∣ x 1 , … , x t ) ∝ P ( X t ∣ Z t ) ⋅ P ( Z t ∣ x 1 , … , x t − 1 ) P(Z_{t} | x_1, \dots, x_t) \propto P(X_t | Z_t) \cdot P(Z_t | x_1, \dots, x_{t-1}) P(Zt∣x1,…,xt)∝P(Xt∣Zt)⋅P(Zt∣x1,…,xt−1)
具体可以通过条件概率相互求解的公式求解。
而在Particle Filter中转移方程非线形非高斯,只能通过采样的方式求解。
16.1.3 如何通过采样求解Particle Filter
由于转移方程非线性非高斯,所以只能采取近似方法求解Filtering问题。这里使用Monte Carlo Method,通过采样求取期望:
P ( Z ∣ X ) → E Z ∣ X [ f ( z ) ] = ∫ Z f ( z ) ⋅ P ( Z ∣ X ) d Z ≈ 1 N ∑ i = 1 N f ( Z ( i ) ) P(Z|X) \rightarrow E_{Z|X}[f(z)] = \int_Z {f(z) \cdot P(Z|X)} {\rm d}Z \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(Z^{(i)}) P(Z∣X)→EZ∣X[f(z)]=∫Zf(z)⋅P(Z∣X)dZ≈N1i=1∑Nf(Z(i))
其中 Z ( i ) Z^{(i)} Z(i)为样本,且 Z ( 1 ) , Z ( 2 ) , … , Z ( N ) ∽ P ( Z ∣ X ) Z^{(1)}, Z^{(2)}, \dots, Z^{(N)} \backsim P(Z|X) Z(1),Z(2),…,Z(N)∽P(Z∣X)。
16.2 重要性采样
16.2.1 重要性采样方法
已知问题:
E [ f ( Z ) ] = ∫ f ( Z ) p ( Z ) d Z E[f(Z)] = \int f(Z) p(Z) {\rm d}Z E[f(Z)]=∫f(Z)p(Z)dZ
求解方法:
-
但 p ( Z ) p(Z) p(Z)的分布复杂,无法直接采样,所以我们引入已知分布 q ( Z ) q(Z) q(Z), q ( Z ) q(Z) q(Z)也称为提议分布(Proposed dist):
E [ f ( Z ) ] = ∫ f ( Z ) p ( Z ) d Z = ∫ f ( Z ) ⋅ p ( Z ) q ( Z ) ⋅ q ( Z ) d Z = 1 N ∑ i = 1 N f ( Z ( i ) ) ⋅ p ( Z ) q ( Z ) \begin{align} E[f(Z)] & = \int f(Z) p(Z) {\rm d}Z \\ & = \int f(Z) \cdot \frac{p(Z)}{q(Z)} \cdot q(Z) {\rm d}Z\\ & = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f(Z^{(i)}) \cdot \frac{p(Z)}{q(Z)} \end{align} E[f(Z)]=∫f(Z)p(Z)dZ=∫f(Z)⋅q(Z)p(Z)⋅q(Z)dZ=N1i=1∑Nf(Z(i))⋅q(Z)p(Z) -
其中 p ( Z ) q ( Z ) \frac{p(Z)}{q(Z)} q(Z)p(Z)被称为weight,表示为 w ( i ) w^{(i)} w(i),用于表示提议分布与实际分布之间的相似度:
E [ f ( Z ) ] = 1 N ∑ i = 1 N f ( Z ( i ) ) ⋅ w ( i ) E[f(Z)] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f(Z^{(i)}) \cdot w^{(i)} E[f(Z)]=N1i=1∑Nf(Z(i))⋅w(i)
所以我们通过采样可以求出 f ( Z ( i ) ) f(Z^{(i)}) f(Z(i)),然后我们的目标就是求出对应的 w ( i ) w^{(i)} w(i)。
16.2.2 Sequential Importance Sampling
引入SIS的原因:
- 由于Filtering问题在递推过程中求解的是 P ( Z t ∣ X 1 : t ) P(Z_t | X_{1:t}) P(Zt∣X1:t),所以对应就会有 w t ( i ) = P ( Z t ∣ X 1 : t ) q ( Z t ( i ) ∣ X 1 : t ) w_t^{(i)} = \frac{P(Z_t | X_{1:t})}{q(Z_t^{(i)} | X_{1:t})} wt(i)=q(Zt(i)∣X1:t)P(Zt∣X1:t),但是随着 t t t增加,每次 w w w都要求 N N N遍,时间开销大。所以引入Sequential Importance Sampling,通过递推的方式求解 w w w( w t − 1 ( i ) → w t ( i ) w_{t-1}^{(i)} \rightarrow w_t^{(i)} wt−1(i)→wt(i))。
推导过程:
-
已知:
w t ( i ) ∝ P ( Z 1 : t ∣ X 1 : t ) q ( Z 1 : t ∣ X 1 : t ) w_t^{(i)} \propto \frac{P(Z_{1:t} | X_{1:t})}{q(Z_{1:t} | X_{1:t})} wt(i)∝q(Z1:t∣X1:t)P(Z1:t∣X1:t) -
分解 P ( Z 1 : t ∣ X 1 : t ) P(Z_{1:t} | X_{1:t}) P(Z1:t∣X1:t),其中将已知量(只由观测变量构成的数据)假设为常数:
P ( Z 1 : t ∣ X 1 : t ) = P ( Z 1 : t , X 1 : t ) P ( X 1 : t ) = 1 C ⋅ P ( X t ∣ Z 1 : t , X 1 : t − 1 ) ⋅ P ( Z t , X 1 : t − 1 ) = 1 C ⋅ P ( X t ∣ Z t ) ⋅ P ( Z t ∣ Z 1 : t − 1 , X 1 : t − 1 ) ⋅ P ( Z 1 : t − 1 , X 1 : t − 1 ) = 1 C ⋅ P ( X t ∣ Z t ) ⋅ P ( Z t ∣ Z t − 1 ) ⋅ P ( Z 1 : t − 1 , X 1 : t − 1 ) = 1 C ⋅ P ( X t ∣ Z t ) ⋅ P ( Z t ∣ Z t − 1 ) ⋅ P ( Z 1 : t − 1 ∣ X 1 : t − 1 ) ⋅ P ( X 1 : t − 1 ) = D C ⋅ P ( X t ∣ Z t ) ⋅ P ( Z t ∣ Z t − 1 ) ⋅ P ( Z 1 : t − 1 ∣ X 1 : t − 1 ) \begin{align} P(Z_{1:t} | X_{1:t}) & = \frac{P(Z_{1:t}, X_{1:t})}{P(X_{1:t})} \\ & = \frac{1}{C} \cdot P(X_t | Z_{1:t}, X_{1:t-1}) \cdot P(Z_t, X_{1:t-1}) \\ & = \frac{1}{C} \cdot P(X_t | Z_{t}) \cdot P(Z_t| Z_{1:t-1}, X_{1:t-1}) \cdot P(Z_{1:t-1}, X_{1:t-1}) \\ & = \frac{1}{C} \cdot P(X_t | Z_{t}) \cdot P(Z_t| Z_{t-1}) \cdot P(Z_{1:t-1}, X_{1:t-1}) \\ & = \frac{1}{C} \cdot P(X_t | Z_{t}) \cdot P(Z_t| Z_{t-1}) \cdot P(Z_{1:t-1}| X_{1:t-1}) \cdot P(X_{1:t-1}) \\ & = \frac{D}{C} \cdot P(X_t | Z_{t}) \cdot P(Z_t| Z_{t-1}) \cdot P(Z_{1:t-1}| X_{1:t-1}) \end{align} P(Z1:t∣X1:t)=P(X1:t)P(Z1:t,X1:t)=C1⋅P(Xt∣Z1:t,X1:t−1)⋅P(Zt,X1:t−1)=C1⋅P(Xt∣Zt)⋅P(Zt∣Z1:t−1,X1:t−1)⋅P(Z1:t−1,X1:t−1)=C1⋅P(Xt∣Zt)⋅P(Zt∣Zt−1)⋅P(Z1:t−1,X1:t−1)=C1⋅P(Xt∣Zt)⋅P(Zt∣Zt−1)⋅P(Z1:t−1∣X1:t−1)⋅P(X1:t−1)=CD⋅P(Xt∣Zt)⋅P(Zt∣Zt−1)⋅P(Z1:t−1∣X1:t−1)
通过以上推导可将 P ( Z 1 : t ∣ X 1 : t ) P(Z_{1:t} | X_{1:t}) P(Z1:t∣X1:t)分解为由 P ( Z 1 : t − 1 ∣ X 1 : t − 1 ) P(Z_{1:t-1}| X_{1:t-1}) P(Z1:t−1∣X1:t−1)组成的公式 -
分解 q ( Z 1 : t ∣ X 1 : t ) q(Z_{1:t} | X_{1:t}) q(Z1:t∣X1:t):
q ( Z 1 : t ∣ X 1 : t ) = q ( Z t ∣ Z 1 : t − 1 , X 1 : t ) ⋅ q ( Z 1 : t − 1 ∣ X 1 : t ) = q ( Z t ∣ Z 1 : t − 1 , X 1 : t ) ⋅ q ( Z 1 : t − 1 ∣ X 1 : t − 1 ) \begin{align} q(Z_{1:t} | X_{1:t}) & = q(Z_t | Z_{1:t-1}, X_{1:t}) \cdot q(Z_{1:t-1}| X_{1:t}) \\ & = q(Z_t | Z_{1:t-1}, X_{1:t}) \cdot q(Z_{1:t-1}| X_{1:t-1}) \end{align} q(Z1:t∣X1:t)=q(Zt∣Z1:t−1,X1:t)⋅q(Z1:t−1∣X1:t)=q(Zt∣Z1:t−1,X1:t)⋅q(Z1:t−1∣X1:t−1) -
结合起来就是:
w t ( i ) ∝ P ( Z 1 : t ∣ X 1 : t ) q ( Z 1 : t ∣ X 1 : t ) ∝ P ( X t ∣ Z t ) ⋅ P ( Z t ∣ Z t − 1 ) ⋅ P ( Z 1 : t − 1 ∣ X 1 : t − 1 ) q ( Z t ∣ Z 1 : t − 1 , X 1 : t ) ⋅ q ( Z 1 : t − 1 ∣ X 1 : t − 1 ) ∝ P ( X t ∣ Z t ) ⋅ P ( Z t ∣ Z t − 1 ) q ( Z t ∣ Z 1 : t − 1 , X 1 : t ) ⋅ w t − 1 ( i ) ∝ P ( X t ∣ Z t ) ⋅ P ( Z t ∣ Z t − 1 ) q ( Z t ∣ Z t − 1 , X 1 : t ) ⋅ w t − 1 ( i ) \begin{align} w_t^{(i)} & \propto \frac{P(Z_{1:t} | X_{1:t})}{q(Z_{1:t} | X_{1:t})} \\ & \propto \frac{P(X_t | Z_{t}) \cdot P(Z_t| Z_{t-1}) \cdot P(Z_{1:t-1}| X_{1:t-1})}{q(Z_t | Z_{1:t-1}, X_{1:t}) \cdot q(Z_{1:t-1}| X_{1:t-1})} \\ & \propto \frac{P(X_t | Z_{t}) \cdot P(Z_t| Z_{t-1})}{q(Z_t | Z_{1:t-1}, X_{1:t})} \cdot w_{t-1}^{(i)} \\ & \propto \frac{P(X_t | Z_{t}) \cdot P(Z_t| Z_{t-1})}{q(Z_t | Z_{t-1}, X_{1:t})} \cdot w_{t-1}^{(i)} \end{align} wt(i)∝q(Z1:t∣X1:t)P(Z1:t∣X1:t)∝q(Zt∣Z1:t−1,X1:t)⋅q(Z1:t−1∣X1:t−1)P(Xt∣Zt)⋅P(Zt∣Zt−1)⋅P(Z1:t−1∣X1:t−1)∝q(Zt∣Z1:t−1,X1:t)P(Xt∣Zt)⋅P(Zt∣Zt−1)⋅wt−1(i)∝q(Zt∣Zt−1,X1:t)P(Xt∣Zt)⋅P(Zt∣Zt−1)⋅wt−1(i)
具体可以表示为一个算法:
条件:t-1时刻的采样已完成 → w t − 1 ( i ) \rightarrow w_{t-1}^{(i)} →wt−1(i)已知。
t时刻:
for i = 1 to N:
Z t ( i ) ∽ q ( Z t ∣ Z t − 1 , X 1 : t ) Z_t^{(i)} \backsim q(Z_t | Z_{t-1}, X_{1:t}) Zt(i)∽q(Zt∣Zt−1,X1:t) // 采样
w t ( i ) ∝ P ( X t ∣ Z t ) ⋅ P ( Z t ∣ Z t − 1 ) q ( Z t ∣ Z t − 1 , X 1 : t ) ⋅ w t − 1 ( i ) w_t^{(i)} \propto \frac{P(X_t | Z_{t}) \cdot P(Z_t| Z_{t-1})}{q(Z_t | Z_{t-1}, X_{1:t})} \cdot w_{t-1}^{(i)} wt(i)∝q(Zt∣Zt−1,X1:t)P(Xt∣Zt)⋅P(Zt∣Zt−1)⋅wt−1(i) // 计算
endw t ( i ) w_t^{(i)} wt(i)要归一化, ∑ i = 1 N w t ( i ) \sum_{i=1}^{N} w_t^{(i)} ∑i=1Nwt(i)
但是通过SIS直接求解有一个问题: w t ( i ) w_t^{(i)} wt(i)的权值会退化——有的大有的小,随着维度上升,可能会出现如: w t ( 1 ) → 1 w_t^{(1)} \rightarrow 1 wt(1)→1但 w t ( N ) → 0 w_t^{(N)} \rightarrow 0 wt(N)→0的情况。解决方案有:
- Resampling——重采样(通过别的方法重新采样)
- 选择一个合适的proposed dist q(Z)
16.2.3 Resampling
这里介绍一种最简单的重采样方法。
倘若第一遍的采样结果为第二列:
数据编号 | 权重(weight) | cdf | |
---|---|---|---|
x ( 1 ) x^{(1)} x(1) | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
x ( 2 ) x^{(2)} x(2) | 0.1 | 0.1 | 0.2 |
x ( 3 ) x^{(3)} x(3) | 0.8 | 0.8 | 1 |
我们将权重假设为当前数据的概率,通过权重建立概率密度函数,并求出其分布函数,即可通过分段函数进行采样。
这样的优点是可以将数据集中在权重大的地方。
16.2.4 采样总结——Basic Particle Filter
结合:重要性采样方法+SIS+Resampling,就是简单的粒子滤波求解方案:Basic Particle Filter
16.3 具体算法——SIR Filter
Particle Filter整体就是通过每个时刻的采样与迭代地计算权重,通过Monte Carlo方法预测的方法。
根据16.2.2已知迭代公式为:
w t ( i ) ∝ P ( X t ∣ Z t ) ⋅ P ( Z t ∣ Z t − 1 ) q ( Z t ∣ Z t − 1 , X 1 : t ) ⋅ w t − 1 ( i ) w_t^{(i)} \propto \frac{P(X_t | Z_{t}) \cdot P(Z_t| Z_{t-1})}{q(Z_t | Z_{t-1}, X_{1:t})} \cdot w_{t-1}^{(i)} wt(i)∝q(Zt∣Zt−1,X1:t)P(Xt∣Zt)⋅P(Zt∣Zt−1)⋅wt−1(i)
其中我们令 q ( Z t ∣ Z t − 1 , X 1 : t ) q(Z_t | Z_{t-1}, X_{1:t}) q(Zt∣Zt−1,X1:t)为用于采样的分布,我们假设采样的分布就是状态转移函数:
q ( Z t ∣ Z t − 1 , X 1 : t ) = p ( Z t ∣ Z t − 1 ( i ) ) q(Z_t | Z_{t-1}, X_{1:t}) = p(Z_t | Z_{t-1}^{(i)}) q(Zt∣Zt−1,X1:t)=p(Zt∣Zt−1(i))
可以简化计算,算法可以总结为"generate and test":
-
generate表示采样:采样的方式变成了:
Z t ( i ) ∽ q ( Z t ∣ Z t − 1 , X 1 : t ) ⟹ Z t ( i ) ∽ p ( Z t ∣ Z t − 1 ( i ) ) Z_t^{(i)} \backsim q(Z_t | Z_{t-1}, X_{1:t}) \implies Z_t^{(i)} \backsim p(Z_t | Z_{t-1}^{(i)}) Zt(i)∽q(Zt∣Zt−1,X1:t)⟹Zt(i)∽p(Zt∣Zt−1(i)) -
test表示通过权重的迭代计算进行预测:变成了:
w t ( i ) ∝ P ( X t ∣ Z t ( i ) ) ⋅ w t − 1 ( i ) w_t^{(i)} \propto P(X_t | Z_{t}^{(i)}) \cdot w_{t-1}^{(i)} wt(i)∝P(Xt∣Zt(i))⋅wt−1(i)
上面的方法总结下来就是:SIR Filter(Sampling-Importance-Resampling)——SIS + Resampling + ( q ( Z t ∣ Z t − 1 , X 1 : t ) = p ( Z t ∣ Z t − 1 ( i ) ) q(Z_t | Z_{t-1}, X_{1:t}) = p(Z_t | Z_{t-1}^{(i)}) q(Zt∣Zt−1,X1:t)=p(Zt∣Zt−1(i)))
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本文是《Quality by Design for ANDAs: An Example for Immediate-Release Dosage Forms》第一个处方的R语言解决方案。 第一个处方研究评估原料药粒径分布、MCC/Lactose比例、崩解剂用量对制剂CQAs的影响。 第二处方研究用于理解颗粒外加硬脂酸镁和滑石粉对片剂质量和可生产…...
08. C#入门系列【类的基本概念】:开启编程世界的奇妙冒险
C#入门系列【类的基本概念】:开启编程世界的奇妙冒险 嘿,各位编程小白探险家!欢迎来到 C# 的奇幻大陆!今天咱们要深入探索这片大陆上至关重要的 “建筑”—— 类!别害怕,跟着我,保准让你轻松搞…...

门静脉高压——表现
一、门静脉高压表现 00:01 1. 门静脉构成 00:13 组成结构:由肠系膜上静脉和脾静脉汇合构成,是肝脏血液供应的主要来源。淤血后果:门静脉淤血会同时导致脾静脉和肠系膜上静脉淤血,引发后续系列症状。 2. 脾大和脾功能亢进 00:46 …...
游戏开发中常见的战斗数值英文缩写对照表
游戏开发中常见的战斗数值英文缩写对照表 基础属性(Basic Attributes) 缩写英文全称中文释义常见使用场景HPHit Points / Health Points生命值角色生存状态MPMana Points / Magic Points魔法值技能释放资源SPStamina Points体力值动作消耗资源APAction…...

SQLSERVER-DB操作记录
在SQL Server中,将查询结果放入一张新表可以通过几种方法实现。 方法1:使用SELECT INTO语句 SELECT INTO 语句可以直接将查询结果作为一个新表创建出来。这个新表的结构(包括列名和数据类型)将与查询结果匹配。 SELECT * INTO 新…...