空间复杂度与时间复杂度

1、时间复杂度和空间复杂度

（1）时间复杂度、空间复杂度是什么？

• 算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。
• 时间效率被称为时间复杂度，空间效率被称作空间复杂度
• 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间
• 在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度，如今更加考虑时间复杂度

（2）时间复杂度的计算

void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N ; ++ i){for (int j = 0; j < N ; ++ j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}//实际执行N * N + 2 * N + 10

①代码解析

实际的们计算时间复杂度的时候，不用计算如此精确的执行次数，于是这里我们使用大O渐进表示法，时间复杂度不算时间，算次数

②大O表示法

是用于描述函数渐进行为的数学符号

③推导方法

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
• 在修改后的运行函数中，只保留最高阶项
• 如果高阶项存在且不是1，则去除于这个项目相乘的常数

④最好、平均、最坏情况：

• 最好情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）

⑤推导例子

void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}
//2 * N + 10 ====> O(N)

void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++ k){++count;}for (int k = 0; k < N ; ++ k){++count;    }printf("%d\n", count);
}
//M + N====>O(M + N)
//如果M远大于N====>O(M)
//如果M、N相差不大====>O(2 * M)/O(2 * N)====>O(M)/O(N)

void Func4(int N)//N没有用到，时间复杂度与N无关
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}
//100====>O(1)，反过来就说明输入数据了常数次

//计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, char character )
{while(*str != '\0'){if(*str == character)return str;++str;}return NULL;
}
//需要分情况：最坏、平均、最好，假设字符串长度为N
//最坏的没有找到或者在最后找到====>O(N)
//平均就是O(N / 2)
//最坏就是O(1)
//当要分情况的时候要用最坏的情况表示，因此最终结果就是O(N)  

// 计算BubbleSort的时间复杂度？（冒泡排序）
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);//断言for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);//调换两个元素exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}
//这个也要分情况
//第一次冒泡N次（也可以理解为N - 1的）
//第二次冒泡N - 1次
//……
//第N次冒泡1次
//和为((1 + N) * N) / 2
//因此最坏情况O(N^2)

// 计算BinarySearch的时间复杂度？（二分查找法）
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n;while (begin < end){int mid = begin + ((end-begin) >> 1);//求平均值if (a[mid] < x){    begin = mid+1;}else if (a[mid] > x){end = mid;}else{return mid;}}return -1;
}
//这个也要分情况
//O(log(2)N)简写为log(N)，最好不要写lg(N)尽管有的地方会这样写，详细解说在下面

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{return N < 2 ? N : Factorial(N-1) * N;
}
//Factorial(10)
//Factorial(9) * 10
//Factorial(8) * 9
//……
//Factorial(1) * 2
递归了N次，每次就是O(1)，整体就是O(N)
//如果假设递归内用的是循环语句for(int i = 0; i < N; ++i);则每次是O(N)，整体就是O(N^2)

⑥常见的时间复杂度对比

O(1) < O(logN) < O(N) < O(N^2)

（3）空间复杂度的计算

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}
//标粗的地方占用了变量，即5====>O(1)
//注意时间是累积的，空间是不累积的（因为重复利用了一个空间）

①代码解析

实际的们计算空间复杂度的时候，也不用计算如此精确的空间，只需要知道大概的执行次数即可，于是这里我们也同样使用大O渐进表示法，空间复杂度不算空间，算变量个数

②大O表示法

是用于描述函数渐进行为的数学符号

③推导方法

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
• 在修改后的运行函数中，只保留最高阶项
• 如果高阶项存在且不是1，则去除于这个项目相乘的常数

④推导例子

// 计算Fibonacci的空间复杂度？（斐波那契数列）
long long* Fibonacci(size_t n)
{if(n==0){return NULL;}long long* fibArray = (long long*)malloc((n+1) * sizeof(long long));fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n ; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];}return fibArray;
}
//O(N + 6)====>O(N)
//虽然大部分算法的空间复杂度都是O(1)

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N;
}
//递归调用了n层，每次调用建立一个栈帧，每次使用了常数O(1)，整体就是O(N)

2、有关的练习题目

（1）面试题 17.04. 消失的数字 - 力扣（LeetCode）

//思路一：
int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{int add_1 = 0;int add_2 = 0;add_1 = ( (0 + numsSize) * (numsSize + 1) ) / 2;for(int i = 0; i < numsSize; i++){add_2 += nums[i];}return add_1 - add_2;
}

//思路二：
int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{int x = 0;int i = 0;for(i = 0; i < numsSize; i++)//用for循环求出数组nums元素的异或和{x ^= nums[i];}for(i = 0; i < numsSize + 1; i++)//运用异或的性质a^a=0来找出消失的数字{x ^= i;}return x;
}

（2）189. 轮转数组 - 力扣（LeetCode）

//思路一：
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{while(k--){int tmp = nums[numsSize - 1];//保留最后一个数字for(int end = numsSize - 2; end >= 0; --end)//开始将最后一个数字前面的所有数字后移{nums[end + 1] = nums[end];}nums[0] = tmp;}
}
//但是超出了时间限制

//思路二：
void Reverse(int* nums, int left, int right)
{while(left < right)//奇数个会相等，偶数个会错开{int tmp = nums[left];nums[left] = nums[right];nums[right] = tmp;++left;--right;}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{if(k >= numsSize)//防止k大于数组大小，例如7个元素旋转13次和6次等价{k %= numsSize;}Reverse(nums, numsSize - k, numsSize - 1);//后半部分Reverse(nums, 0, numsSize - k - 1);//前半部分Reverse(nums, 0, numsSize - 1);
}