【NOI】C++程序结构入门之循环结构三-计数求和

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前言

在C++编程的学习过程中，循环结构是一个非常重要的概念。通过前两节的学习，我们已经掌握了while循环和for循环的基本使用方法，并且学会了如何利用这些循环来输出一组符合条件的数。然而，在实际应用中，仅仅输出这些数是不够的。很多时候我们需要进一步处理这些数据，例如统计出符合条件的数的数量以及计算它们的总和。这就是本章节的重点——循环计数求和。我们将深入探讨如何使用计数器和累加器来实现这一目标，并通过具体的实例帮助大家更好地理解和掌握这些技巧。

学习路线：C++从入门到NOI学习路线

学习大纲：C++全国青少年信息学奥林匹克竞赛（NOI）入门级-大纲

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一、计数求和

1.导入

在前两节中，我们学习了两种不同的循环结构——while循环和for循环。

并学会了在一组数字中，如何输出多个符合条件的数。

让你统计出这些符合条件的数的数量是多少？并且计算出它们的和你会吗？

这就是我们今天需要学习处理的问题——循环计数求和。

2.计数器

首先我们需要知道一个关于计数器的概念，什么是计数器？

计数器用于跟踪循环执行的次数或某些事件发生的频率。它通常从一个初始值开始，在每次满足特定条件时递增或递减。

哇，好复杂，感觉要长脑子了QAQ

其实并没有那么复杂，大家可以想想比赛用的计时器。

当按下开始键，时间每过去一秒，计时器就会加1。同理，在我们程序里面，当满足条件时，我们也将计数器+1。

示例：

int c=0	//定义一个计数器，并初始化为0
for(int i=1;i<=20;++i){	//循环1-20的数if(i%2==0){	//判断当前数是否是偶数++c;	//如何是偶数，则将计数器+1}
}

上面代码中就演示了如何统计1-20中偶数的数量。

看见没，就是这样简单。

3.累加器

接下来，让我们来了解一下求和的部分。

累加器用来累积一系列数值的总和。在每次迭代中，将当前数值添加到累加器中，从而实现对多个数值的求和。

说到这里，大家脑子里面肯定想到了计算器这个东西。

没错，我们的累加器基于相当于是一个会自己按的计算器。当然这里的累加器也可以包括加减乘除等一系列操作，只是一般用来求和而已。

示例：

int sum=0	//定义一个累加器，并初始化为0
for(int i=1;i<=20;++i){	//循环1-20的数sum+=i; //累计计算1-20的和
}

依然是一段很简单的代码，循环1-20的每一个数，然后将它们累计相加。

但这里有的人可能会有一点小问题。

1.问题一：sum+=i是什么意思？

• 在C++编程中，sum += i; 是一种简洁的写法，用来表示将变量 i 的值加到变量 sum 上，并将结果存回 sum 中。这实际上是一个复合赋值操作符的例子，它结合了加法运算和赋值操作。
• sum += i 可以理解为 sum = sum + i。

2.问题二：为什么sum=sum+i就是累加？

• 模拟计算器过程：想象你正在使用一个计算器来连续相加几个数字。每次你输入一个新的数并按下“等于”键时，计算器会显示当前所有已输入数值的总和。
• 累加器的角色：在这个过程中，sum 就像是计算器上的显示屏，它保存了到目前为止所有已添加数值的总和。而 i 则代表当前要加入的新值。
• 每一步的更新：在语句 sum = sum + i; 中，右边的 sum 表示的是上一次累加后的结果（也就是当前的总和），而 + i 是指现在要加到总和上去的新值。执行这行代码之后，新的总和就会被计算出来，并通过赋值操作（=）更新到左边的 sum 变量中。
• 循环中的累加：当这条语句位于一个循环体内时，随着循环的每一次迭代，i 的值会发生变化，代表着不同的新值。每次执行 sum = sum + i; 都是在前一次总和的基础上再加上新的值，从而实现了累加的效果。最终，sum 将包含所有数值的总和。

二、例题讲解

问题：1741 - 求出1~n中满足条件的数的个数和总和？

类型：简单循环

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题目描述：

请求出 1∼n 之间所有满足 2 的倍数但不是 3 的倍数的数，有多少个，总和是多少？

输入：

读入一个整数 n（n≤100000） 。

输出：

输出有 2 行，每行 1 个整数；
第 1 行输出满足条件的数有几个；
第 2 行输出满足条件的数的总和。

样例：

输入：

10

输出：

4
24

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1.分析问题

1. 已知：给定一个整数n；
2. 未知：找出1到n之间所有满足既是2的倍数但又不是3的倍数的数。需要计算满足条件的数的总数（记为c）以及这些数的总和（记为s）。

2.定义变量

• n为输入值，count记录满足条件的数的数量，sum记录这些数的总和。

 // 二、数据定义int n, count = 0, sum = 0;

3.输入数据

• 从用户处获取整数n的值。

    // 三、数据输入cin >> n; 

4.数据计算

• 从2开始，每次递增2（确保是2的倍数），直到n（包含n）。
• 检查当前数i是否不是3的倍数。
• 如果i不是3的倍数，则计数加1，并将其累加到总和中

    // 四、数据处理与计算for (int i = 2; i <= n; i += 2) {if (i % 3 != 0) {count++; // 或者使用 ++countsum += i;}}

5.输出结果

• 输出满足条件的数的总数和总和，中间用换行符分隔

    cout << count << endl << sum;

完整代码如下：

#include <bits/stdc++.h> // 包含常用的C++库函数
using namespace std; // 使用std命名空间，简化对标准库函数的调用int main() {// 一、问题分析// 给定一个整数n，找出1到n之间所有满足既是2的倍数但又不是3的倍数的数。// 需要计算满足条件的数的总数（记为c）以及这些数的总和（记为s）。// 二、数据定义int n, count = 0, sum = 0; // n为输入值，count记录满足条件的数的数量，sum记录这些数的总和// 三、数据输入cin >> n; // 从用户处获取整数n的值// 四、数据处理与计算// 从2开始，每次递增2（确保是2的倍数），直到n（包含n）for (int i = 2; i <= n; i += 2) {// 检查当前数i是否不是3的倍数if (i % 3 != 0) {// 如果i不是3的倍数，则计数加1，并将其累加到总和中count++; // 或者使用 ++countsum += i;}}// 五、输出结果// 输出满足条件的数的总数和总和，中间用换行符分隔cout << count << endl << sum;return 0; // 程序执行成功，返回0
}

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问题：1002. 编程求解1+2+3+…+n

类型：简单循环

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题目描述：

编程求解下列式子的值： S=1+2+3+⋯+n。

输入：

输入一行，只有一个整数 n(1≤n≤1000) 。

输出：

输出只有一行（这意味着末尾有一个回车符号），包括 1 个整数。

样例：

输入：

100

输出：

5050

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1.分析问题

1. 已知：一个整数n；
2. 未知：计算出1-n中所有数的和；
3. 关系：计数求和。

2.定义变量

• n - 存储用户输入的上限；
• sum - 累加器，初始化为0，用来累计从1到n的整数之和。

int n,sum=0; 

3.输入数据

• 输入整数n。

cin>>n;

4.数据计算

• 开始一个循环，从1遍历到n（包括n）。
• 在每次循环中，将当前的i累加到sum中。

for(int i=1;i<=n;i++){sum+=i;
}

5.输出

• 输出结果sum。

cout << sum << endl;

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>  // 包含了C++标准库中的所有头文件，方便快捷但不推荐用于实际项目中。
using namespace std;     // 使用std命名空间，避免每次使用标准库元素时都得加上std::前缀。int main(){              // 定义主函数，程序从这里开始执行。//一、分析问题//已知：整数n。//未知：前n项和。//关系：累加。//二、数据定义 int n, sum = 0;      // 定义两个整型变量：// n - 存储用户输入的上限；// sum - 累加器，初始化为0，用来累计从1到n的整数之和。//三、数据输入cin >> n;            // 从标准输入读取一个整数n，表示累加的上限。//四、数据计算 for(int i = 1; i <= n; ++i){  // 开始一个循环，从1遍历到n（包括n）。sum += i;                 // 在每次循环中，将当前的i累加到sum中。}//五、输出结果cout << sum << endl;          // 输出累加的结果，并换行。return 0;                     // 主函数结束，返回0给操作系统，表示程序正常结束。
}

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问题：1004. 编程求1 * 2 * 3*…*n

类型：简单循环

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题目描述：

编程求 1×2×3×⋯×n 。

输入：

输入一行，只有一个整数 n(1≤n≤10)；

输出：

输出只有一行（这意味着末尾有一个回车符号），包括 1 个整数。

样例：

输入：

5

输出：

120

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1.分析问题

1. 已知：一个整数n；
2. 未知：编程求 n的阶乘。
3. 关系：n 的阶乘定义为从 1 到 n 所有整数的乘积，表示为 n! = 1 * 2 * … * n。

2.定义变量

定义两个整型变量：

• n - 存储用户输入的整数；
• r - 累乘器，初始化为1，用来累计从1到n的整数乘积。

int n,r=1;

3.输入数据

• 读取一个整数n，表示要计算阶乘的数。

cin>>n;

4.数据计算

• 开始一个循环，从1遍历到n（包括n）。
• 在每次循环中，将当前的i与累乘器r相乘，并更新r。

for(int i=1;i<=n;++i){r*=i;
}

5.输出

• 输出累乘的结果，即n的阶乘。

cout<<r;

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>  // 包含了C++标准库中的所有头文件，方便快捷但不推荐用于实际项目中。
using namespace std;     // 使用std命名空间，避免每次使用标准库元素时都得加上std::前缀。int main(){              // 定义主函数，程序从这里开始执行。//一、分析问题//已知：一个整数n //未知：编程求 n的阶乘。//关系：n 的阶乘定义为从 1 到 n 所有整数的乘积，表示为 n! = 1 * 2 * ... * n。//二、数据定义int n, r = 1;        // 定义两个整型变量：// n - 存储用户输入的整数；// r - 累乘器，初始化为1，用来累计从1到n的整数乘积。//三、数据输入cin >> n;            // 从标准输入读取一个整数n，表示要计算阶乘的数。//四、数据计算for(int i = 1; i <= n; ++i){  // 开始一个循环，从1遍历到n（包括n）。r *= i;                   // 在每次循环中，将当前的i与累乘器r相乘，并更新r。}//五、输出结果cout << r;                    // 输出累乘的结果，即n的阶乘。return 0;                     // 主函数结束，返回0给操作系统，表示程序正常结束。
}

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问题：1014. 编程求1+1/2+1/3+…+1/n

类型：简单循环

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题目描述：

编程求 1+1/2+1/3+⋯+1/n 。

输入：

输入一行，只有一个整数 n(1≤n≤200) 。

输出：

输出只有一行（这意味着末尾有一个回车符号），包括 1 个实数。(保留 3 位小数) 。

样例：

输入：

5

输出：

2.283

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1.分析问题

1. 已知：一个整数n；
2. 未知：编程求1+1/2+1/3+…+1/n；
3. 关系：调和级数求和，即求从1到n分之一的所有项之和。

2.定义变量

• 定义一个整型变量n，用来存储用户输入的上限。
• 定义一个双精度浮点型变量r，初始化为0，用来累计调和级数的和。

int n;
double r=0;

3.输入数据

• 读取一个整数n，表示求和的上限。

cin>>n;

4.数据计算

• 开始一个循环，从1遍历到n（包括n）。
• 在每次循环中，将当前项1/i累加到r中。
• 注意使用1.0以确保除法是浮点数除法，而不是整数除法。

for(int i=1;i<=n;++i){r+=1.0/i;
}

5.输出

• 输出累加的结果，设置输出格式为固定小数点形式，并保留三位小数。

cout<<fixed<<setprecision(3)<<r;

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>  // 包含了C++标准库中的所有头文件，方便快捷但不推荐用于实际项目中。
using namespace std;     // 使用std命名空间，避免每次使用标准库元素时都得加上std::前缀。int main(){              // 定义主函数，程序从这里开始执行。//一、分析问题//已知：一个整数n;//未知：编程求1+1/2+1/3+...+1/n//关系：调和级数求和，即求从1到n分之一的所有项之和。//二、数据定义int n;               // 定义一个整型变量n，用来存储用户输入的上限。double r = 0;        // 定义一个双精度浮点型变量r，初始化为0，用来累计调和级数的和。//三、数据输入cin >> n;            // 从标准输入读取一个整数n，表示求和的上限。//四、数据计算for(int i = 1; i <= n; ++i){  // 开始一个循环，从1遍历到n（包括n）。r += 1.0 / i;             // 在每次循环中，将当前项1/i累加到r中。// 注意使用1.0以确保除法是浮点数除法，而不是整数除法。}//五、输出结果cout << fixed << setprecision(3) << r;  // 输出累加的结果，设置输出格式为固定小数点形式，并保留三位小数。return 0;                               // 主函数结束，返回0给操作系统，表示程序正常结束。
}

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问题：1056. 所有不超过1000的数中含有数字3的自然数

类型：简单循环

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题目描述：

编程求出所有不超过 1000 的数中，含有数字 3 的自然数，并统计总数。

输入：

无。

输出：

输出只有一行（这意味着末尾有一个回车符号），包括 1 个整数。

样例：

输入：

输出：

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1.分析问题

1. 已知：无输入，直接处理范围内的数。
2. 未知：求出所有不超过 1000 的数中，含有数字 3 的自然数，并统计总数。
3. 关系：通过拆分每一位数字来检查是否包含数字3。

2.定义变量

• 定义一个整型变量c，初始化为0，用来累计包含数字3的数的数量。

int c=0;

3.输入数据

无。

4.数据计算

• 开始一个循环，从1遍历到999（包括999）。
• 检查当前数i的每一位是否包含数字3。
• 如果包含，则将计数器c加1。

for(int i=3;i<1000;++i){if(i%10==3||i/10%10==3||i/100==3) ++c;		
}

5.输出

• 输出包含数字3的数的总数。

cout<<c;

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>  // 包含了C++标准库中的所有头文件，方便快捷但不推荐用于实际项目中。
using namespace std;     // 使用std命名空间，避免每次使用标准库元素时都得加上std::前缀。int main(){              // 定义主函数，程序从这里开始执行。//一、分析问题//已知：无输入，直接处理范围内的数。//未知：求出所有不超过 1000 的数中，含有数字 3 的自然数，并统计总数。//关系：通过拆分每一位数字来检查是否包含数字3。//二、数据定义int c = 0;           // 定义一个整型变量c，初始化为0，用来累计包含数字3的数的数量。//三、数据输入// 无需用户输入，直接在代码中处理1到999的所有数。//四、数据计算for(int i = 1; i < 1000; ++i){  // 开始一个循环，从1遍历到999（包括999）。if(i % 10 == 3 || i / 10 % 10 == 3 || i / 100 == 3) {  // 检查当前数i的每一位是否包含数字3。++c;                                               // 如果包含，则将计数器c加1。}}//五、输出结果cout << c;                    // 输出包含数字3的数的总数。return 0;                     // 主函数结束，返回0给操作系统，表示程序正常结束。
}

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问题：1055. 求满足条件的整数个数

类型：简单循环

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题目描述：

在 1∼n 中，找出能同时满足用 3 除余 2 ，用 5 除余 3 ，用 7 除余 2 的所有整数的个数,如果没有请输出 0 。

输入：

输入一行，只有一个整数 n(1≤n≤2000) 。

输出：

输出只有一行（这意味着末尾有一个回车符号），包括 1 个整数。

样例：

输入：

100

输出：

1

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1.分析问题

1. 已知：一个整数n;
2. 未知：找出能同时满足用 3 除余 2 ，用 5 除余 3 ，用 7 除余 2 的所有整数的个数,如果没有请输出 0 。
3. 关系：逻辑运算&&。

2.定义变量

• 定义两个整型变量：n 和 计数器c。

int n,c=0;

3.输入数据

• 读取一个整数n，表示范围的上限。

cin>>n;

4.数据计算

• 开始一个循环，从1遍历到n（包括n）。
• 检查当前数i是否满足所有条件。
• 如果满足条件，则将计数器c加1。

for(int i=1;i<=n;++i){if(i%3==2&&i%5==3&&i%7==2) ++c;
}

5.输出

• 输出个数。

cout<<c;

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>  // 包含了C++标准库中的所有头文件，方便快捷但不推荐用于实际项目中。
using namespace std;     // 使用std命名空间，避免每次使用标准库元素时都得加上std::前缀。int main(){              // 定义主函数，程序从这里开始执行。//一、分析问题//已知：一个整数n;//未知：找出能同时满足用 3 除余 2 ，用 5 除余 3 ，用 7 除余 2 的所有整数的个数,如果没有请输出 0 。//关系：逻辑运算符 //二、数据定义int n, c = 0;        // 定义两个整型变量：// n - 存储用户输入的上限；// c - 计数器，初始化为0，用来累计满足条件的整数数量。//三、数据输入cin >> n;            // 从标准输入读取一个整数n，表示范围的上限。//四、数据计算for(int i = 1; i <= n; ++i){  // 开始一个循环，从1遍历到n（包括n）。if(i % 3 == 2 && i % 5 == 3 && i % 7 == 2) {  // 检查当前数i是否满足所有条件。++c;                                      // 如果满足条件，则将计数器c加1。}}//五、输出结果cout << c;                    // 输出满足条件的整数的数量。return 0;                     // 主函数结束，返回0给操作系统，表示程序正常结束。
}

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问题：1393. 与7无关的数？

类型：简单循环

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题目描述：

一个整数，如果这个数能够被 7 整除，或者其中有一位是7，我们称为这个数是与 7 有关的数。比如： 14 能被 7 整除，17 有一位为 7 ，这两个数都是与 7有关的数。

请你编程求出 1∼n（n≤999） 中，与 7 无关的数的总和是多少？

比如 1∼10 中与 7 无关的数的和为：1+2+3+4+5+6+8+9+10=48 。

输入：

一个整数 n（n≤999） 。

输出：

1∼n 中与 7 无关的数的总和。

样例：

输入：

10

输出：

48

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1.分析问题

1. 已知：一个整数n;
2. 未知：1-n中，与 7 无关的数的总和是多少？

2.定义变量

• n - 存储用户输入的整数；
• r - 累加器，初始化为0，用来累计满足条件的整数之和。

int n,r=0;

3.输入数据

• 输入读取一个整数n，表示范围的上限。

cin>>n;

4.数据计算

• 开始一个循环，从1遍历到n（包括n）。
• 检查当前数i是否满足以下条件：
  1. 不能被7整除 (i % 7 != 0)
  2. 不包含数字7
• 如果满足条件，则将当前数i累加到r中。

for(int i=1;i<=n;++i){if(!(i%7==0 || i%10==7 || i/10%10==7 || i/100==7)){r+=i;}
}

5.输出

• 输出结果r。

cout<<r;

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>  // 包含了C++标准库中的所有头文件，方便快捷但不推荐用于实际项目中。
using namespace std;     // 使用std命名空间，避免每次使用标准库元素时都得加上std::前缀。int main(){              // 定义主函数，程序从这里开始执行。//一、分析问题//已知：一个整数n;//未知：与 7 无关的数的总和是多少？//关系：不能被7整除且不包含数字7的数。//二、数据定义int n, r = 0;        // 定义两个整型变量：// n - 存储用户输入的上限；// r - 累加器，初始化为0，用来累计满足条件的整数之和。//三、数据输入cin >> n;            // 从标准输入读取一个整数n，表示范围的上限。//四、数据计算for(int i = 1; i <= n; ++i){  // 开始一个循环，从1遍历到n（包括n）。// 检查当前数i是否满足以下条件：// 1. 不能被7整除 (i % 7 != 0)// 2. 不包含数字7 (i % 10 != 7 && i / 10 % 10 != 7 && i / 100 != 7)if(!(i % 7 == 0 || i % 10 == 7 || i / 10 % 10 == 7 || i / 100 == 7)) {r += i;      // 如果满足条件，则将当前数i累加到r中。}}//五、输出结果cout << r;           // 输出满足条件的整数之和。return 0;            // 主函数结束，返回0给操作系统，表示程序正常结束。
}

三、总结

通过本章节的学习，我们不仅回顾了C++中的循环结构，还学习了如何利用计数器和累加器来进行复杂的数值处理。具体来说，我们了解了：

• 计数器：用于跟踪满足特定条件的事件发生的次数。它通常从一个初始值开始，在每次满足特定条件时递增或递减。
• 累加器：用来累积一系列数值的总和。通过在循环体内不断将当前数值添加到累加器中，可以实现对多个数值的求和。

此外，我们通过几个具体的编程问题，如求解调和级数、寻找与7无关的数等，展示了如何将这些概念应用于解决实际问题。

四、感谢

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