组合数：从基础理论到高效算法实现

一、组合数学基础

1.1 组合数定义
在离散数学中，组合数 $C(n,k)$（记为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$）表示在 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个元素的非重复组合方式数量，其经典定义为：

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}(0⩽k⩽n)$$

1.2 递推关系
式如《算法导论》中常见的手法，我们从递归方程入手分析。组合数满足著名Pascal递推公式：

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k}\right)$$

边界条件：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=1\forall n⩾0$$

二、经典算法实现

2.1 直接递归算法

int comb_recursive(int n, int k) {if (k == 0 || k == n) return 1;return comb_recursive(n-1, k-1) + comb_recursive(n-1, k);
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(2^n)$（这显然无法接受）
• 空间复杂度：$O(n)$（递归栈深度）

该算法适用于教学演示递归关系，但通过算法导论中的递归树分析可知存在大量重复计算，不具备实用价值。

2.2 动态规划解法

int comb_dp(int n, int k) {vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(k+1, 0));for(int i = 0; i <= n; ++i) {for(int j = 0; j <= min(i, k); ++j) {dp[i][j] = (j == 0 || j == i) ? 1 : dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j];}}return dp[n][k];
}

优化空间复杂度：

int comb_dp_optimized(int n, int k) {vector<int> dp(k+1, 0);dp[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; ++i) {for(int j = min(i, k); j > 0; --j) {dp[j] += dp[j-1];}}return dp[k];
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(nk)$
• 空间复杂度：原算法$O(nk)$，优化后$O(k)$

该方法通过递推存储中间结果避免了重复计算，达到多项式时间复杂度，适用于中小规模数据。

三、取模运算与高效算法

3.1 模运算预处理
当结果需要取模时（$C(n,k)\mathrm{mod}p$），我们结合数论中的Fermat小定理实现模逆运算：

const int MOD = 1e9+7;
vector<long long> fact, inv_fact;void precompute(int n) {fact.resize(n+1);inv_fact.resize(n+1);fact[0] = 1;for(int i=1; i<=n; ++i) fact[i] = fact[i-1] * i % MOD;inv_fact[n] = mod_pow(fact[n], MOD-2);for(int i=n-1; i>=0; --i)inv_fact[i] = inv_fact[i+1] * (i+1) % MOD;
}int comb_mod(int n, int k) {return fact[n] * inv_fact[k] % MOD * inv_fact[n-k] % MOD;
}

复杂度分析：

• 预处理时间复杂度：$O(n)$
• 查询时间复杂度：$O(1)$

3.2 Lucas定理应用
对于大质数$p$，当$n>p$时需要采用分治策略：

int lucas_theorem(int n, int k, int p) {if(k == 0) return 1;return lucas_theorem(n/p, k/p, p) * comb_mod(n%p, k%p) % p;
}

该算法时间复杂度为$O({\log }_{p}n)$，主要应用于：$p$为质数且$n$极大时的组合数取模计算。

四、算法选择策略

算法类型	适用场景	时间复杂度	空间复杂度
Direct Recursive	教学演示	$O(2^n)$	$O(n)$
Dynamic Programming	$n\le 5000$	$O(n^2)$	$O(n)$
Modular Preprocess	$n\le 10^6$	$O(n)$ preprocessing	$O(n)$
Lucas + Preprocess	$n\le 10^{18}$, prime $p\le 10^6$	$O(p+{\log }_{p}n)$	$O(p)$

五、典型应用场景

5.1 二项式定理展开
$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$$

5.2 组合数路径计数
在$m\times n$网格图从左上到右下的路径数等于$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{m}\right)$

int uniquePaths(int m, int n) {return comb_mod(m+n-2, min(m-1, n-1));
}

5.3 概率计算应用
在n次独立重复试验中的应用：
$$P(k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

六、进阶技巧

6.1 Catalan数计算
使用组合数表达式：
$$C_n=\frac{1}{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$$

6.2 组合数奇偶性判定
利用Lucas定理可得：
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$为奇数的充要条件是$k$的二进制表示是$n$的子集

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七、常用模板

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int MOD = 1e9 + 7;    // 模数，根据题目要求修改为质数
const int N = 1e5 + 10;     // 预处理的最大范围，根据题目要求调整long long fact[N];          // 存储阶乘 % MOD 的结果
long long inv_fact[N];      // 存储阶乘逆元 % MOD 的结果long long qpow(long long a, long long b) {long long res = 1;while (b) {if (b & 1) res = res * a % MOD;a = a * a % MOD;b >>= 1;}return res;
}
void init_comb() {fact[0] = 1;// 计算阶乘for (int i = 1; i < N; ++i) {fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD;}// 计算最大位置阶乘的逆元inv_fact[N - 1] = qpow(fact[N - 1], MOD - 2);// 递推计算阶乘逆元for (int i = N - 2; i >= 0; --i) {inv_fact[i] = inv_fact[i + 1] * (i + 1) % MOD;}
}long long comb(int n, int k) {if (n < 0 || k < 0 || k > n) return 0;return fact[n] * inv_fact[k] % MOD * inv_fact[n - k] % MOD;
}int main() {init_comb(); // 初始化，必须调用cout << "C(5, 2) = " << comb(5, 2) << endl; // 输出 10cout << "C(100000, 50000) = " << comb(100000, 50000) << endl; // 需要保证 N > 100000return 0;
}

输出样例：
C(5, 2) = 10
C(100000, 50000) = 149033233

总结：

组合数的计算既是经典的数学问题，也蕴含着丰富的算法思想。在算法竞赛中也常常出现，要好好理解组合数的思想，感受下组合数的魅力。