【算法】回溯算法专题③ ——排列型回溯 python

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前置

【算法】回溯算法专题① ——子集型回溯 python
【算法】回溯算法专题② ——组合型回溯 + 剪枝 python

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小试牛刀

全排列 https://leetcode.cn/problems/permutations/description/

给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2：

输入：nums = [0,1]
输出：[[0,1],[1,0]]
示例 3：

输入：nums = [1]
输出：[[1]]

提示：

1 <= nums.length <= 6
-10 <= nums[i] <= 10
nums 中的所有整数 互不相同

思路:

用一个vis标记数组:对已选的数字打上标记

题解:

class Solution:def permute(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:n = len(nums)path = []ans = []vis = [0] * (n + 1)def dfs(i):if i == n:ans.append(path.copy())returnfor j in range(n):if not vis[j]:vis[j] = 1path.append(nums[j])dfs(i + 1)path.pop()vis[j] = 0 # 别忘了回溯时将vis打回0dfs(0)return ans

当然vis标记数组可以通过递归时传入一个set参数代替

题解2:

class Solution:def permute(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:n = len(nums)path = []ans = []def dfs(i, s): # s:setif i == n:ans.append(path.copy())returnfor x in s:path.append(x)dfs(i + 1, s - {x})path.pop()dfs(0, set(nums)) # 用集合可以 O(1)判断元素是否在里面return ans

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回归经典

N皇后 https://leetcode.cn/problems/n-queens/description/

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

输入：n = 4
输出：[[“.Q…”,“…Q”,“Q…”,“…Q.”],[“…Q.”,“Q…”,“…Q”,“.Q…”]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：[[“Q”]]

提示：
1 <= n <= 9

思路:

同一对角线不能有多个皇后
（可以通过计算行号加或减列号来判断）

题解code:

class Solution:def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:ans = []col = [0] * n  # col:列vis = [0] * n  # vis:标记数组diag1 = [0] * (2 * n)diag2 = [0] * (2 * n)# 分别表示两个对角线def dfs(r):  # row:行if r == n:ans.append(["." * c + "Q" + "." * (n - 1 - c) for c in col])returnfor c in range(n):if not vis[c] and not diag1[r + c] and not diag2[r - c]:col[r] = cvis[c] = diag1[r + c] = diag2[r - c] = 1dfs(r + 1)vis[c] = diag1[r + c] = diag2[r - c] = 0dfs(0)return ans

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举一反三

小小变化一下,可以在对角线上,但有前提: 行号至少相差3

受伤的皇后 https://www.lanqiao.cn/problems/552/learning/

思路:

主要问题在于判断相同对角线上行号之差
以(2, 2)为例：
【右对角线】 的点是 (1, 3)，【左对角线】 的点是 (3, 3)，
可以发现：
(2, 2)和 (1, 3)的横坐标之差的绝对值=纵坐标之差的绝对值
同样的(2, 2)和 (3, 3)亦是如此，
所以判断两点是否在同一对角线，
即判断这两点的横纵坐标绝对值之差是否相等

题解code:

col = [0] * n
vis = [0] * n
diag1 = [0] * 2 * n
diag2 = [0] * 2 * ndef check(x, y):if not vis[y] and not diag1[x + y] and not diag2[x - y]:for i in range(x):if abs(i - x) == abs(col[i] - y) and abs(x - i) < 3:return 0return 1return 0def dfs(r):if r == n:global ansans += 1returnfor c in range(n):if check(r, c):col[r] = cvis[c] = diag1[r + c] = diag2[r - c] = 1dfs(r + 1)col[r] = 0vis[c] = diag1[r + c] = diag2[r - c] = 0n = int(input())
ans = 0
dfs(0)
print(ans)

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总结

回溯法是一种通过尝试每一种可能性来找到所有解的算法。对于N皇后问题，特别是带有额外约束条件的问题（如本题中的皇后之间在同一条45度角斜线上至少相隔3行），回溯法是一个非常合适的选择。

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