【算法通关村 Day6】二叉树层次遍历

树与层次遍历青铜挑战

理解树的结构

通过中序和后序遍历序列恢复二叉树是一个经典的二叉树构建问题。给定二叉树的中序遍历序列和后序遍历序列，我们可以利用以下步骤进行恢复。

思路：

1. 后序遍历的特点：
   • 后序遍历的最后一个节点是树的根节点。
2. 中序遍历的特点：
   • 中序遍历中，根节点左边的元素是左子树，根节点右边的元素是右子树。

步骤：

• 从后序遍历的最后一个节点开始，它是树的根节点。
• 在中序遍历中找到该根节点的位置，它把中序遍历序列分成两部分：左子树和右子树。
• 递归地对左子树和右子树的中序遍历和后序遍历进行相同的操作，直到所有节点都被处理。

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;public class BinaryTreeBuilder {// 定义二叉树节点结构static class TreeNode {int val;TreeNode left;TreeNode right;TreeNode(int val) {this.val = val;}}// 用于存储中序遍历的节点索引，方便快速查找private Map<Integer, Integer> inorderMap;// 主方法，传入中序和后序序列，建立二叉树 public TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) {inorderMap = new HashMap<>();// 将中序遍历的节点及其对应索引存入mapfor(int i = 0; i < inorder.length; i++){inorderMap.put(inorder[i], i);}// 从后序数组的最后一个元素开始，递归构建树return build(inorder, postorder, 0, inorder.length - 1, new int[]{postorder.length - 1});}// 递归构建树private TreeNode build(int[] inorder, int[] postorder, int inStart, int inEnd, int[] postIndex){// 递归终止条件：没有元素可处理if (inStart > inEnd) {return null;}// 确保postIndex不会越界if (postIndex[0] < 0) {return null;}//后序遍历的当前节点int rootVal = postorder[postIndex[0]--];TreeNode root = new TreeNode(rootVal);// 获取当前根节点在中序遍历中的位置int rootIndex = inorderMap.get(rootVal);// 先构建右子树，再构建左子树（因为postorder是后序遍历）root.right = build(inorder, postorder, rootIndex + 1, inEnd, postIndex);root.left = build(inorder, postorder, inStart, rootIndex - 1, postIndex);return root;}// 辅助方法：打印二叉树（中序遍历）public void inorderTraversal(TreeNode root){if(root != null){inorderTraversal(root.left);System.out.print(root.val + " ");inorderTraversal(root.right);}}public static void main(String[] args) {BinaryTreeBuilder builder = new BinaryTreeBuilder();//示例int[] inorder = {9, 3, 15, 20, 7};int[] postorder = {9, 15, 7, 20, 3};// 构建二叉树TreeNode root = builder.buildTree(inorder, postorder);//打印构建的二叉树的中序遍历作验证System.out.println("Inorder Traversal: ");builder.inorderTraversal(root);}
}

1. 后序遍历：后序遍历的最后一个元素是 3，所以树的根节点是 3。

2. 中序遍历：在中序遍历数组中，3 位于索引位置 1，这意味着我们可以将树分为左右子树：

   • 左子树：中序序列 {9}（在 3 左边）
   • 右子树：中序序列 {15, 20, 7}（在 3 右边）

3. 递归构建左子树和右子树：

   • 左子树：对应的后序序列是 {9}。所以左子树的根节点就是 9，没有子节点（因为没有更多元素）。
   • 右子树：右子树的中序序列是 {15, 20, 7}，后序序列是 {15, 7, 20}。我们从后序序列中取出 20 作为右子树的根节点。然后将其继续分为左右子树：
     • 左子树：中序序列 {15} 和后序序列 {15}，所以左子树的根节点就是 15。
     • 右子树：中序序列 {7} 和后序序列 {7}，所以右子树的根节点就是 7。

构建出的树结构：

        3/ \9   20/  \15   7

树与层次遍历白银挑战

二叉树层次遍历的经典问题

二叉树层次遍历

二叉树的层次遍历（也叫广度优先遍历，BFS）是指从根节点开始，逐层遍历树的节点，每一层从左到右依次访问。

在 Java 中实现二叉树的层次遍历可以使用队列（Queue）来辅助。队列是一种先进先出的数据结构，适合用来逐层遍历树的节点。

假设你已经有了二叉树的定义（TreeNode 类），可以按以下方式实现层次遍历：

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;class TreeNode {int val;TreeNode left, right;TreeNode(int val) {this.val = val;left = right = null;}
}public class BinaryTreeLevelOrderTraversal {public void levelOrder(TreeNode root) {if (root == null) {return;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root); // 将根节点放入队列while (!queue.isEmpty()) {TreeNode currentNode = queue.poll(); // 取出队首元素// 访问当前节点System.out.println(currentNode.val + " ");// 如果左子节点不为空，将其加入队列if (currentNode.left != null) {queue.offer(currentNode.left);} // 如果右子节点不为空，将其加入队列if (currentNode.right != null) {queue.offer(currentNode.right);}}}public static void main(String[] args) {BinaryTreeLevelOrderTraversal tree = new BinaryTreeLevelOrderTraversal();// 创建一个示例二叉树TreeNode root = new TreeNode(1);root.left = new TreeNode(2);root.right = new TreeNode(3);root.left.left = new TreeNode(4);root.left.right = new TreeNode(5);root.right.left = new TreeNode(6);root.right.right = new TreeNode(7);// 执行层次遍历System.out.print("Level Order Traversal: ");tree.levelOrder(root);}
}

1. TreeNode 类：代表二叉树的节点，每个节点有一个整数值（val），以及指向左右子节点的指针（left 和 right）。
2. levelOrder 函数：这个方法实现了层次遍历。它使用一个队列来逐层遍历树的节点。根节点首先入队，然后每次从队列中取出一个节点，访问它的值，并将它的左右子节点加入队列，直到队列为空。
3. 主函数（main）：创建一个示例二叉树并调用 levelOrder 函数进行层次遍历。

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是树中的节点数。每个节点都只会被访问一次。
• 空间复杂度：O(n)，最坏情况下，队列中最多会保存树的最大宽度的节点数（即叶子节点的数目）。

处理不同层的值

例题一 在每个树行中找最大值

给定一棵二叉树的根节点 root ，请找出该二叉树中每一层的最大值。

leetcode515

你可以通过广度优先搜索 (BFS) 来遍历二叉树的每一层，然后找出每一层的最大值。具体做法是使用一个队列存储每一层的节点，遍历完一层后找出该层的最大值。

下面是使用 Java 实现的代码：

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;class TreeNode {int val;TreeNode left;TreeNode right;TreeNode(int x) {val = x;}
}public class LargestValues {public List<Integer> largestValues(TreeNode root){List<Integer> result = new ArrayList<>();if (root == null) {return result;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {int levelSize = queue.size();// 初始化当前层最大值为最小整数int maxVal = Integer.MIN_VALUE;for(int i = 0; i < levelSize; i++) {TreeNode currentNode = queue.poll();// 更新当前层最大值maxVal = Math.max(maxVal, currentNode.val);if (currentNode.left != null) {queue.offer(currentNode.left);}if (currentNode.right != null) {queue.offer(currentNode.right);}}result.add(maxVal);}return result;}public static void main(String[] args) {TreeNode root = new TreeNode(1);root.left = new TreeNode(3);root.right = new TreeNode(2);root.left.left = new TreeNode(5);root.left.right = new TreeNode(3);root.right.right = new TreeNode(9);LargestValues solution = new LargestValues();List<Integer> result = solution.largestValues(root);System.out.println(result); // Output: [1, 3, 9]}
}

时间复杂度：

• O(n)，其中 n 是二叉树的节点数。每个节点都被访问一次。

空间复杂度：

• O(m)，其中 m 是二叉树的最大宽度。最坏情况下，队列存储的是树的最大宽度的节点。

例题二 二叉树的层平均值

给定一个非空二叉树的根节点 root , 以数组的形式返回每一层节点的平均值。与实际答案相差 10-5 以内的答案可以被接受。

leetcode637

解法：

同样可以使用层序遍历（BFS）来解这个问题，逐层计算每一层的节点平均值。我们可以使用一个队列来帮助实现层序遍历。对于每一层，计算所有节点的和，并除以该层节点的个数，最后返回结果。

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;class TreeNode {int val;TreeNode left;TreeNode right;TreeNode(int x) {val = x;}
}public class AverageOfLevels {public List<Double> averageOfLevels(TreeNode root){List<Double> result = new ArrayList<>();if (root == null) {return result;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {int levelSize = queue.size();double levelSum = 0;for(int i = 0; i < levelSize; i++){TreeNode node = queue.poll();levelSum += node.val;if (node.left != null) {queue.offer(node.left);}if (node.right != null) {queue.offer(node.right);}}result.add(levelSum / levelSize);}return result;}
}

例题三 二叉树的右视图

给定一个二叉树的 根节点 root，想象自己站在它的右侧，按照从顶部到底部的顺序，返回从右侧所能看到的节点值。

leetcode199

• BFS遍历：我们使用一个队列 queue 来进行广度优先遍历。每次取出一层的节点，然后依次访问这一层的所有节点。

• 每层最右节点：在遍历一层时，我们只关注该层的最右边的节点，因此在每次循环结束时，我们记录当前层的最后一个节点的值（即右侧可见的节点）。

• 更新队列：每访问一个节点时，将它的左右子节点（如果有的话）加入队列，这样可以确保后续的层次遍历。

• 返回结果：最终，result 列表中存储的就是每一层的最右边的节点值，这就是从右侧所能看到的节点值。

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;class TreeNode {int val;TreeNode left;TreeNode right;TreeNode(int x) {val = x;}
}public class RightSideView {public List<Integer> rightSideView(TreeNode root) {List<Integer> result = new ArrayList<>();if (root == null) {return result;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {int size = queue.size();TreeNode rightMostNode = null;for(int i = 0; i < size; i++){TreeNode currentNode = queue.poll();rightMostNode = currentNode;if (currentNode.left != null) {queue.offer(currentNode.left);}if (currentNode.right != null) {queue.offer(currentNode.right);}}result.add(rightMostNode.val);}return result;}    
}

• 时间复杂度是 O(n)，其中 n 是二叉树中的节点数。我们需要遍历每一个节点。
• 空间复杂度是 O(m)，其中 m 是二叉树的最大层宽度（即队列中最多存储的节点数）。

例题四 找树左下角的值

给定一个二叉树的 根节点 root，请找出该二叉树的 最底层 最左边 节点的值。

假设二叉树中至少有一个节点。

leetcode513

解法：

• 层序遍历：队列中保存着当前正在遍历的节点。对于每一层的节点，我们需要记录该层的第一个节点，这就是我们所需的“最左边的节点”。
• leftmostValue：记录每层第一个节点的值。每次进入新的一层，i == 0 时会更新该变量为当前层的第一个节点的值。
• 队列中的操作：从左到右遍历当前层的节点，每次加入左子节点和右子节点到队列中。

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;class TreeNode {int val;TreeNode left;TreeNode right;TreeNode(int x) {val = x;}
}public class FindBottomLeftValue {public int findBottomLeftValue(TreeNode root){if (root == null) {return -1;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);int leftmostValue = 0;while (!queue.isEmpty()) {int levelSize = queue.size();for (int i = 0; i < levelSize; i++) {TreeNode currentNode = queue.poll();if (i == 0) {leftmostValue = currentNode.val;}if (currentNode.left != null) {queue.offer(currentNode.left);}if (currentNode.right != null) {queue.offer(currentNode.right);}}}return leftmostValue;}
}

• 时间复杂度仍然是 O(N)，因为每个节点都会被访问一次。
• 空间复杂度是 O(N)，因为在最坏的情况下，队列需要存储二叉树的最后一层节点。