代数结构—笔记

线性空间

如果满足以下性质，则域$K$上定义了二元运算（加法）与二元函数（数乘）的非空集合$X$称为线性空间。
1、加法封闭性：对任意$u,v\in X$，存在$u+v\in X$
2、数乘封闭性：对任意$u\in X,\alpha \in K$，存在$\alpha u\in X$
3、加法交换性：$u+v=v+u$
4、加法结合性：$(u+v)+w=u+(v+w)$
5、加法单位元：存在$0\in X$，使得$z+0=z$
6、加法逆元：存在$-z\in X$，使得$z+(-z)=0$
7、数乘分配性：$\alpha (u+v)=\alpha u+\alpha v,(\alpha +\beta )u=\alpha u+\beta u$
8、数乘结合性：$(\alpha \beta )u=\alpha (\beta u)$
9、数乘单位元：$1u=u$
其中，$u,v,w\in X,\alpha ,\beta \in K$

群

如果满足以下性质，则定义了二元运算$\cdot$的非空集合$G$称为群。
1、封闭性：对任意$g,h\in G$，存在$g\cdot h\in G$
2、结合性：$(g\cdot h)\cdot l=g\cdot (h\cdot l)$
3、单位元：存在$e\in G$，使得$e\cdot g=g\cdot e=g$
4、逆元：存在$\bar{g}\in G$，使得$\bar{g}g=g\bar{g}=e$
其中，$g,h,l\in G$

实数乘法群：非零实数组成的集合，运算为乘法，单位元为$1$。
矩阵群：行列式不为零的实矩阵组成的集合，运算为矩阵乘法，单位元为单位矩阵$E$。

交换群或阿贝尔群：满足交换性的群。
矩阵一般不满足交换性，因此维数$n\ge 2$的矩阵群不是交换群。

三维旋转群：三维空间中所有绕固定点旋转组成的集合，群运算是两个旋转的合成，逆元素是反向旋转。
（对于单位元，书中说是单位元以显然的方式作用于所有点，很讨厌“显然”这个词，我认为是零度旋转）

变换群：所有双射$g:X\to X$的集合形成一个群$G(X)$。
群运算为映射的合成$(gh)(x)=g(h(x))$，其中$x\in X,g,h\in G(X)$
单位元为恒等映射$id:X\to X$，$id(x)=x,x\in X$

如果$H\subset G$，且对于任意$g,h\in H$有$g{h}^{-1}\in H$，则$H$为$G$的子群。
如果满足$gh{g}^{-1}\in H$，则$H$为$G$的正规子群。

加法群是一个交换群。
实数集$R$，运算$+$就是一个加法群。
每个线性空间是一个加法群。

群同态

群同态是两个群的映射$\varphi :G\to H$满足：$\forall g,h\in G$，都有$\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)$。
若映射为双射，则称为群同构。

群的自同构指$G$到自身的同构，即$\varphi :G\to G$为同构映射。

群的所有自同构映射的合成形成一个新群，称为自同构群，记作$Aut(G)$，$Aut(G)$刻画了$G$的对称性。
$Aut(G)$是一种变换群。

环

如果集合$R$是加法群，并满足以下性质，则称为环。
1、乘法封闭性：对任意$a,b\in R$，存在$ab\in R$
2、乘法结合性：$a(bc)=(ab)c$
3、乘法分配律：$a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca$
其中，$a,b,c\in R$。

域

如果集合$K$满足以下性质，则其称为域。
1、$K$是有单位元的加法群
2、$K$是有单位元的乘法群
3、$K$是一个环
4、$K$满足乘法交换性

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space
[3] 数学指南-实用数学手册. 李文林
[4] 三维旋转的表示方法. https://www.cnblogs.com/Heskey0/p/16182834.html