考研数一非数竞赛复习之Stolz定理求解数列极限

        在非数类大学生数学竞赛中，Stolz定理作为一种强大的工具，经常被用来解决和式数列极限的问题，也被誉为离散版的’洛必达’方法，它提供了一种简洁而有效的方法，使得原本复杂繁琐的极限计算过程变得直观明了。本文，我们将通过几个例题介绍该定理的使用方法。

stolz定理

        设数列,满足:严格单调递增

        且

        若

        则

        定理看起来非常简单易懂,且该定理与洛必达公式形似。洛必达公式描述的是函数的导数的极限与原函数的极限之间的关系,该定理描述的是数列差分后的极限与原数列极限之间的关系。

 例题

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1.

解:设,

     

     

     

     

    设

     则

     

那么,原式极限结果为1

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2.

解: 设

     

     

 (每一项内第一个n与其下标一致)

注意,对于来说,经过观察我们不难发现不单单意味着原数列的前n-1项,同时我们还应该将每一项内第一个n更改为n-1。即

      

      则，

     

     

利用'抓大头'思想不难得到

 那么,原式极限结果=

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3.

原式=

设,

令

利用'抓大头'思想不难得到

那么原式极限结果为

总结

        使用stolz定理求解数列极限，特别是和式极限时一定要化简至的形式,并且在计算

时要格外注意数列差分结果的计算,不要只是简单的将n-1带入(特别是和式极限)

        拿不准可以多展开几项,观察数列通项。

        以上便是使用stolz定理求解数列极限时所有需要注意的地方，看完这篇文章，我相信你又将掌握一个求极限的利器。