齐次线性方程组及python求解

齐次线性方程组的概念

齐次线性方程组是指所有常数项都为零的线性方程组，其一般形式为：

$$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0$$
$$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0$$
$$⋮$$
$$a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0$$

其中，$a_{ij}$ 是系数，$x_i$ 是未知数，方程组中的常数项都是0。

求解方法

1. 高斯消元法：通过行变换将系数矩阵转换为行最简形式，从而找到方程组的解。高斯消元法是一种求解线性方程组的算法，它通过对方程组的增广矩阵进行行变换，将矩阵转换为行阶梯形或行最简形，从而找到方程组的解。对于齐次线性方程组，由于常数项都是0，所以增广矩阵就是系数矩阵。

以下是使用高斯消元法求解齐次线性方程组的步骤：

写出系数矩阵：将方程组的系数写成矩阵形式 $A$。

进行行变换：通过以下三种基本行变换将矩阵转换为行阶梯形或行最简形：

• 交换两行。
• 将某一行乘以一个非零常数。
• 将某一行加上另一行的倍数。

找到解：当矩阵转换为行最简形时，可以很容易地读出方程组的解。

考虑以下齐次线性方程组：

$$x_1+2x_2+3x_3=0$$
$$4x_1+5x_2+6x_3=0$$
$$7x_1+8x_2+9x_3=0$$

系数矩阵 $A$ 为：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

我们可以通过高斯消元法将这个矩阵转换为行最简形。以下是具体的行变换步骤：

从第二行减去第一行的4倍：
$$R_2\leftarrow R_2-4R_1$$
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -3& -6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

从第三行减去第一行的7倍：
$$R_3\leftarrow R_3-7R_1$$
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -3& -6\\ 0& -6& -12\end{array}\right)$$

将第二行除以-3：
$$R_2\leftarrow \frac{R_2}{-3}$$
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& -6& -12\end{array}\right)$$

从第三行加上第二行的6倍：
$$R_3\leftarrow R_3+6R_2$$
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

从第一行减去第二行的2倍：
$$R_1\leftarrow R_1-2R_2$$
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

现在，矩阵已经转换为行最简形。从这个矩阵中，我们可以读出方程组的解：

$$x_1-x_3=0$$
$$x_2+2x_3=0$$

设 $x_3=t$，则 $x_1=t$ 和 $x_2=-2t$。因此，方程组的解为：

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$$

其中 $t$ 是任意实数。这就是方程组的非零解。

2. 矩阵的零空间：求解系数矩阵的零空间，即找到所有满足 $Ax=0$ 的向量 $x$。
   要使用矩阵的零空间法求解齐次线性方程组，我们可以遵循以下步骤，
   构造系数矩阵：将齐次线性方程组表示为矩阵形式$Ax=0$，其中 $A$ 是系数矩阵。
   计算零空间：使用线性代数工具来计算系数矩阵 $A$ 的零空间，即找到所有满足$Ax=0$ 的向量 $x$。

矩阵 $A$ 的零空间是所有满足$Ax=0$ 的向量 $x$ 组成的集合，可以用 $\text{Null}(A)$表示。

以下是使用Python的NumPy库来求解齐次线性方程组的零空间的代码示例：

from sympy import Matrix# 定义系数矩阵A
A = Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])# 计算矩阵A的零空间
null_space = A.nullspace()# 打印非零解
print("非零解为：")
for solution in null_space:print(solution)

非零解为：
Matrix([[1], [-2], [1]])

3.特征值和特征向量：对于某些特殊类型的齐次线性方程组，可以通过求解特征值和特征向量来找到解。

计算特征值：求解特征方程 $\det (A-\lambda I)=0$ 来找到矩阵 $A$ 的所有特征值。
找到特征值为0的特征向量：对于特征值 $\lambda =0$，求解方程 $Ax=0$ 来找到对应的特征向量，这些特征向量构成了齐次方程组的解空间。

以下是使用Python和NumPy库来实现这个过程的代码：

import numpy as npdef find_eigenvectors(A):# 计算特征值和特征向量eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)# 找到特征值为0的特征向量zero_eigenvectors = eigenvectors[:, np.isclose(eigenvalues, 0)]return zero_eigenvectors# 定义系数矩阵A
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])# 找到特征值为0的特征向量
zero_eigenvectors = find_eigenvectors(A)print("特征值为0的特征向量（解空间的基）为：")
print(zero_eigenvectors)

特征值为0的特征向量（解空间的基）为：
[[ 0.40824829]
[-0.81649658]
[ 0.40824829]]
请注意，这个方法只有在矩阵$A$ 有0特征值时才适用。如果矩阵$A$没有0特征值，那么齐次线性方程组只有平凡解（即所有变量都为0的解）。此外，这个方法可能不会返回所有可能的解，因为特征值和特征向量方法通常用于描述矩阵的特定性质，而不是直接求解齐次方程组。对于齐次方程组，更直接的方法是使用高斯消元法或者计算矩阵的零空间。

应用

1. 线性代数：在求解线性代数问题时，经常需要求解齐次线性方程组，例如求解矩阵的零空间、特征值和特征向量等。
2. 控制理论：在控制理论中，齐次线性方程组可以用来描述系统的稳定性。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，齐次线性方程组可以用来描述三维空间中的变换。
4. 经济学：在经济学中，齐次线性方程组可以用来描述经济模型中的平衡关系。