算法思想之前缀和(二)

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本篇主题：算法思想之前缀和(二)
发布时间：2025.4.11
隶属专栏：算法

算法介绍

核心思想

前缀和（Prefix Sum） 是一种预处理数组的方法，通过预先计算并存储数组的累积和，将区间和查询的时间复杂度从 O(n) 优化至 O(1)，适用于频繁查询子数组和的场景。

大致步骤

1. 预处理出来一个前缀和数组
2. 使用前缀和数组
3. 处理边界情况

例题

和为 K 的子数组

题目链接

560. 和为 K 的子数组

题目描述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回 该数组中和为 k 的子数组的个数 。

子数组是数组中元素的连续非空序列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1], k = 2
输出：2

示例 2：

输入：nums = [1,2,3], k = 3
输出：2

提示：

• 1 <= nums.length <= 2 * 104
• -1000 <= nums[i] <= 1000
• -107 <= k <= 107

算法思路

设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。
想知道有多少个以 i 为结尾的和为 k 的子数组，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和为 k 。那么 [0, x] 区间内的和是不是就是sum[i] - k 了。于是问题就变成：

• 找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和等于 sum[i] - k 的即可。

我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和等于sum[i] - k 。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。

代码实现

class Solution {
public:int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {unordered_map<int, int> hash;hash[0] = 1;int n = nums.size(), sum = 0, ret = 0;for(int i = 0; i < n; i++){sum += nums[i];if(hash[sum-k] > 0)ret += hash[sum-k];hash[sum]++;}return ret;}
};

和可被 K 整除的子数组

题目链接

974. 和可被 K 整除的子数组

题目描述

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ，返回其中元素之和可被 k 整除的非空 子数组 的数目。

子数组 是数组中 连续 的部分。

示例 1：

输入：nums = [4,5,0,-2,-3,1], k = 5
输出：7
解释：
有 7 个子数组满足其元素之和可被 k = 5 整除：
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

示例 2:

输入: nums = [5], k = 9
输出: 0

提示:

• 1 <= nums.length <= 3 * 104
• -104 <= nums[i] <= 104
• 2 <= k <= 104

算法思路

补充两个小知识

• 同余定理
  如果 (a - b) % n == 0，那么我们可以得到一个结论： a % n == b % n 。用文字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。
  例如：(26 - 2) % 12 == 0 ，那么 26 % 12 == 2 % 12 == 2 。
• c++ 中负数取模的结果，以及如何修正负数取模的结果
  • c++ 中关于负数的取模运算，结果是把负数当成正数，取模之后的结果加上一个负号。
    例如： -1 % 3 = -(1 % 3) = -1
  • 因为有负数，为了防止发生出现负数的结果，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正。
    例如： -1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2

设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。

• 想知道有多少个以 i 为结尾的可被 k 整除的子数组，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。
• 设 [0, x - 1] 区间内所有元素之和等于 a ， [0, i] 区间内所有元素的和等于 b ，可得(b - a) % k == 0 。
• 由同余定理可得， [0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成：
  • 找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可。

我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和等于sum[i] - k 。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。

代码实现

class Solution {
public:int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {unordered_map<int, int> hash;hash[0%k] = 1;int sum = 0, ret = 0;for(auto &n : nums){sum += n;int r = (sum%k + k)%k;if(hash[r] > 0)ret+=hash[r];hash[r]++;} return ret;}
};

连续数组

题目链接

525. 连续数组

题目描述

给定一个二进制数组 nums , 找到含有相同数量的 0 和 1 的最长连续子数组，并返回该子数组的长度。

示例 1：
输入：nums = [0,1]
输出：2
说明：[0, 1] 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0]
输出：2
说明：[0, 1] (或 [1, 0]) 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。

示例 3：

输入：nums = [0,1,1,1,1,1,0,0,0]
输出：6
解释：[1,1,1,0,0,0] 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。
提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• nums[i] 不是 0 就是 1

算法思路

稍微转化一下题目，就会变成我们熟悉的题：

• 本题让我们找出一段连续的区间， 0 和 1 出现的次数相同。
• 如果将 0 记为 -1 ， 1 记为 1 ，问题就变成了找出一段区间，这段区间的和等于 0 。
  • 于是，就和 560. 和为 K 的子数组 这道题的思路一样

代码实现

class Solution {
public:int findMaxLength(vector<int>& nums) {unordered_map<int, int> hash;hash[0] = -1;int n = nums.size(), sum = 0, ret = 0;for(int i = 0; i < n; i++){sum += (nums[i] == 0 ? -1: 1);if(hash.count(sum))ret = max(ret, i - hash[sum]);else    hash[sum] = i;}return ret;}
};

矩阵区域和

题目链接

1314. 矩阵区域和

题目描述

给你一个 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k ，请你返回一个矩阵 answer ，其中每个 answer[i][j] 是所有满足下述条件的元素 mat[r][c] 的和：

• i - k <= r <= i + k,
• j - k <= c <= j + k 且
• (r, c) 在矩阵内。

示例 1：

输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 1
输出：[[12,21,16],[27,45,33],[24,39,28]]

示例 2：

输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 2
输出：[[45,45,45],[45,45,45],[45,45,45]]

提示：

• m == mat.length
• n == mat[i].length
• 1 <= m, n, k <= 100
• 1 <= mat[i][j] <= 100

算法思路

⼆维前缀和的简单应用题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的左上角以及右下角的坐标（推荐画图）

• 左上角坐标： x1 = i - k，y1 = j - k ，但是由于会超过矩阵的范围，因此需要对 0取一个 max 。因此修正后的坐标为： x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k) ;
• 右下角坐标： x1 = i + k，y1 = j + k ，但是由于会超过矩阵的范围，因此需要对 row - 1 ，以及 col - 1 取⼀个 min 。因此修正后的坐标为： x2 = min(row - 1, i + k), y2 = min(col - 1, j + k) 。

然后将求出来的坐标代入到二维前缀和矩阵的计算公式上即可~（但是要注意下标的映射关系）

代码实现

class Solution {
public:vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {int row = mat.size(), col = mat[0].size();vector<vector<int>> dp(row+1, vector<int>(col+1));for(int i = 1; i <= row; i++)for(int j = 1; j <= col; j++)dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]+mat[i-1][j-1];vector<vector<int>> answer(row, vector<int>(col));for(int i = 0; i < row; i++)for(int j = 0; j < col; j++){int x1 = max(0, i-k)+1, y1 = max(0, j-k)+1;int x2 = min(row-1, i+k)+1, y2 = min(col-1, j+k)+1;answer[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1];}return answer;}
};

⚠️ 写在最后：以上内容是我在学习以后得一些总结和概括，如有错误或者需要补充的地方欢迎各位大佬评论或者私信我交流！！！