基础数学知识-概率论

1. 随机事件和概率

1. 事件运算规律

• 交换律：
  $$\begin{gathered} A\cup B=B\cup A \\ A\cap B=B\cap A \end{gathered}$$

• 结合律：

$$\begin{gathered} A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C \\ A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C \end{gathered}$$

• 分配律：
  $$\begin{gathered} A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C) \\ A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C) \end{gathered}$$

2. 条件概率

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$

3. 事件独立性

$$A,B相互独立<-->P(AB)=P(A)P(B)$$

• A,B 相互独立的充要条件为 A 与 $\overline{B} $ 或 $\overline{A}$ 与 B 或 $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 相互独立。
• 当 0 < P(A) < 1 时， A, B 相互独立 等价于 P(B|A) = P(B) 或 $P(B|A)=P(B|\overline{A})$成立
• n 个事件间相互独立 --> 这n个事件必两两独立； 反之不成立。

4. 五大公式

• 加法公式：
  $$\begin{gathered} P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) \\ P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) \end{gathered}$$

• 减法公式：
  $$P(A-B)=P(A)-P(AB)$$

• 乘法公式：
  $$P(A)>0时，P(AB)=P(A)P(B|A)$$

• 全概率公式：
  $$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$$

• 贝叶斯公式：
  $$P(B_j|A)=\frac{P(B_j)P(A|B_j)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}$$

5. 古典型概率

• 定义： 在样本空间中，有有限 n 个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，则称这种有限等可能试验为古典概型。

• 如果事件 A 由 $n_A$ 个样本点组成，则事件 A 的概率为：
  $$P(A)=\frac{n_A}{n}=\frac{A中包含的样本点}{样本空间中的样本点总数}$$

6. 几何型概率

• 定义：当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维，二维或三维等）， 以 $L(\Omega )$ 表示当前样本空间 $\Omega$ 的几何度量（长度，面积，体积）等。 $L(\Omega )$ 为有限，且试验结果出现在 $\Omega$ 中的任意区域的可能性只与该区域几何度量成正比。

• 如果事件 A 的样本点表示的区域为 ${\Omega }_A$ ， 那么事件A的概率为：
  $$P(A)=\frac{L({\Omega }_A)}{L(\Omega )}=\frac{{\Omega }_A的几何度量}{\Omega 的几何度量}$$

7. n重伯努利试验

• 伯努利试验： 随机试验，每次试验都只有两个结果 $A$ 与 $\overline{A}$， 则称为伯努利试验。
• n重伯努利试验： 将伯努利试验独立重复进行 n 次， 称为 n 重伯努利试验。

若每次实验中， $P(A)=p$， 那么 n 重伯努利试验中事件 A 发生 k 次的概率为：
$$二项概率公式：C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$

2. 随机变量与分布

1.离散型随机变量

概率分布： P { X = x k } = p k 分布函数： F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∑ x k ≤ x p k 概率分布：P\{X=x_k \} = p_k \\ 分布函数： F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_k \leq x}p_k \\ 概率分布：P{X=xk​}=pk​分布函数：F(x)=P(X≤x)=xk​≤x∑​pk​

2. 连续型随机变量

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$

3. 常见分布

• **几何分布：**n重伯努利试验中， 在第 k 次试验时才首次试验成功的概率服从几何分布。
  P { X = K } = p ( 1 − p ) k − 1 P\{X = K \} = p (1-p)^{k-1} P{X=K}=p(1−p)k−1

• 超几何分布： N 件商品中含有 M 件次品，从中任意一次取出 n 件(或从中一件接一件不放回的取n件)， 令 X = 抽取的n件商品中的次品件数， 则 X 服从参数为 n， N， M 的超几何分布。
  P { X = k } = C M k C N − M n − k C N n P\{ X = k \} = \frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} P{X=k}=CNn​CMk​CN−M