捌拾叁- 量子傅里叶变换

1. 前言

最近公司地震，现在稍微有点时间继续学习。

看了几个算法，都说是基于 量子傅里叶变换 ，好，就是他了 Quantum Fourier。

2. 傅里叶变换

大学是学通信的，对于傅里叶变换还是有所理解的。其实就是基于一个 时域 的函数，变换为一个基于 频域 的函数。

例如：

一篇彻底搞懂傅里叶变换及其背后原理

一般我们看到的都是时域的数据，例如

这种，随时间的变化，v (速度) 的变化，这个变化对应的频率是怎样呢？通过傅里叶变换，就可以得出频率的变化。

3. 离散傅里叶变换

离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT).

还有，任何傅里叶变换都是可以相互变换的，从时域变为频域后，也能从频域变成时域。

离散傅里叶变换也一样

推导过程可以上网找，反正我也理解不了，接受就是了

(不过其实这也是一个人造的公式，符合使用，能拓展，自洽，其实就行了)

4. 公式推导

我看夸父的教程我看不懂，中间跳了好多东西，于是一直上网搜

其中，∣x⟩ 是输入态，∣k⟩ 是输出态

这个网页有一个 Gif 的展示！

然后就是把 N 个量子比特 组成的整体系统，组成为一个 输入态

5. 突然又感觉看不懂了，重新来

我们还是看回夸父的推导公式：

∣j⟩ 是输入态，∣k⟩ 是输出态

首先我们的起点是：

他喵的第二步我就看不懂了

为什么一个 连加 可以变成 N 个连加 ？

思来想去后，右边可以展开为 ：

但上面这个是错的！！！！！

因为 |𝑘⟩ 这个东西是代表一个概率矩阵，应该这样看

其中 𝑘0 的意思其实是右边的 |𝑘⟩ 里面代表当 k=0 的时候的概率，同理延续下去

这个时候换基，把原本的 |𝑘⟩ 换为二进制 (如上述第4点的最后来换)

注意上面 红色箭头 跟 蓝色箭头 ，代表的是这个 二进制 如何转化为 十进制 ，对应的 十进制 就是原等式那个数值

例如，十进制 是 0 的，二进制就是 …00000

十进制 是 1 的，二进制就是 …00001

以3位比特为例：

十进制	二进制
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

上面的 K 意义是下面

x 的意思是，换位二进制之后，第几位

y 的意思是，这个位数的概率是多少

注意 K 是 k 的二进制表示，大小写区分的！ (跟原推导公式不一致)

此刻我们再改一下写法

其实就是因为在指数项的相加是等于整体的相乘

其中把二进制第 0 位 ( 即二进制最右边那位提取出来 )，也即 K0

还是以3位比特为例

十进制	二进制 (左边两个比特)	第0位比特
0	00	0
2	01	0
4	10	0
6	11	0
1	00	1
3	01	1
5	10	1
7	11	1

回到上面的公式

把那个2的指数改一下

原公式化为

问了一下 智谱 的 大模型，可以写成

变成了最终

6. 然后发现

好像还有问题…为什么…

跟量子电路没关系呢？

下周继续看，快疯了