算法日记32：埃式筛、gcd和lcm、快速幂、乘法逆元

一、埃式筛（计算质数）

1.1、概念

1.1.1、在传统的计算质数中，我们采用单点判断，即判断(2~sqrt(n))是否存在不合法元素，若存在则判否，否则判是

1.1.2、假设，此时我们需要求1~1000的所有质数，此方法的时间复杂度就会变成O(n*sqrt(n)),这显然太过冗余了

• 因此，我们可以使用埃式筛

1.1.3、现在，求1~20中的所有质数，我们就可以：

• 1)首先将0、1排除：

• 2)创建从2到n的连续整数列表，[2,3,4,…,n]；

• 3)初始化 p = 2，因为2是最小的质数；

• 4)枚举所有p的倍数(2p,3p,4p,…)，标记为非质数（合数）；

• 5)找到下一个 没有标记 且 大于p 的数。如果没有，结束运算；如果有，将该值赋予p，重复步骤4;

• 6)运算结束后，剩下所有未标记的数都是找到的质数。
  

• 此时，2是第一个质数，因此把2的倍数全部设置为1(vis[j]=1)将其全部筛出
  

• 接下来，发现3为0，表示3是一个质数，因此我们把3的倍数也给筛掉
  

• 因此，我们可以发现只要其没有被其他数字筛掉，那么他就一定是质数

1.2、总结：

ll vis[N];//用来判断一个数是否被筛掉了，0->没被筛掉,1->筛掉
void solve()
{ll n;cin>>n;vis[0]=vis[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++)//从2开始筛值{//从i*2开始，每次+i,当枚举到还没筛掉的数，筛掉for(ll j=i*i;j<=n;j+=i) {if(vis[i]==0) vis[j]=1;}}for(ll i=2;i<=n;i++) if(vis[i]==0) cout<<i<<' '; 
}

2、最大公约数(gcd)和最小公倍数(lcm)

2.1、gcd求法

2.1.1、如何求解两个数(a,b)的最大公约数(gcd)？

• 使用辗转相除法
  • 首先 ，我们假设(a>b)，通过数学公式不难得出：
  • 1)gcd(a,b)=gcd(a%b,b)，比如gcd(18,6)=gcd(0,6)
  • 2)if(b==0)那么意味着此时的a即为最小公倍数
• 因此，代码可以写成

ll gcd(ll a,ll b)	//只需记住，无论何时：a>b
{return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}

2.2、lcm求法

2.2.1、如何求解两个数(a,b)的最小公倍数(lcm)？

• 只需记住一个公式即可：

a*b=gcd(a,b)*lcm(a*b);

3、快速幂

3.1、概念：求解a^b

• 1、当b为奇数时候，拆出一个a，此时，b就变成了一个偶数
• 2、当b为一个偶数的时候，就拆出其次方项 b-->2/b
  

3.1.1、代码实现

//快速幂
ll qmi(ll a,ll b,ll c)  //a ^ b % c
{int res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%c,b--;//当b是奇数时，拆出一个a,使得 b 变成偶数else a=a*a%c,b>>=1;	//此时b为偶数，拆出一个a*a，等待下次为奇数再计算答案}return res;
}

四、乘法逆元

4.1、概念

• 在写题目的时候，假设我们需要表达a/b，是不好表达的，只能用浮点数来表示，因此我们就采用乘法逆元(类似于倒数 % p)来表示
  

4.2、那么，如何来求逆元呢？

• 我们可以使用费马小定理来求解
  

4.3、乘法逆元例题

• 题目链接

4.3.1、对于例题，我们可以对这个分式进行分解

• 因此，我们可以使用逆元来表示分数即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 7;
ll p=998244353;ll qmi(ll a,ll b)	//快速幂
{ll res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%p,b--;a=a*a%p,b>>=1;}return res%p;
}ll inv(int x)	//求解x的逆元
{return qmi(x,p-2)%p;
}void solve()
{ll a,b,c,q;cin>>a>>b>>c>>q;while(q--){ll x;cin>>x;cout<<(a*x%p+b)%p*inv(c*x%p)%p<<'\n'; }
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);int _ = 1; cin>>_;while (_--) solve();return 0;
}