线性代数入门：轻松理解二阶与三阶行列式的定义与理解

前言

行列式是线性代数中一个非常基础但又极其重要的概念。它不仅是解线性方程组的利器，还在矩阵理论、向量空间、特征值等问题中扮演着关键角色。今天，我将用最通俗易懂的方式，向高中生朋友们介绍二阶和三阶行列式的基本概念和计算方法。让我们从最简单的二阶行列式开始，逐步深入到三阶行列式。

一、行列式是什么？

在开始学习具体计算方法之前，我们需要先理解行列式到底是什么。

简单来说，行列式是一个与方阵（行数和列数相同的矩阵）相关联的标量值（就是一个普通的数）。这个数值可以告诉我们很多关于矩阵的信息，比如：

• 矩阵是否可逆（行列式为零时矩阵不可逆）
• 对应线性方程组是否有唯一解
• 在几何上，行列式的绝对值表示矩阵变换对面积的缩放比例

二、二阶行列式

2.1 二阶行列式的定义

对于一个2×2的矩阵：

| a b |
| c d |

它的行列式记作det(A)或|A|，计算公式为：
|A| = ad - bc

这个公式可以简单记忆为"主对角线乘积减去副对角线乘积"。

2.2 计算示例

例1：计算矩阵

| 2 3 |
| 1 4 |

的行列式。

解：|A| = (2×4) - (3×1) = 8 - 3 = 5

例2：计算矩阵

| 5 2 |
| 10 4 |

的行列式。

解：|A| = (5×4) - (2×10) = 20 - 20 = 0

2.3 几何意义

在二维平面中，行列式的绝对值等于由矩阵的两个列向量（或行向量）所张的平行四边形的面积。

例如，对于矩阵

| 2 0 |
| 0 3 |

的行列式是6，这对应于边长为2和3的矩形面积。

当行列式为0时 ，意味着两个向量共线，平行四边形的面积为0。

2.4 应用：解线性方程组

行列式可以用来解二元一次方程组（克莱姆法则）：

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

解为：
x = Dₓ/D
y = Dᵧ/D

其中：
D = | a₁ b₁ | = a₁b₂ - a₂b₁
| a₂ b₂ |

Dₓ = | c₁ b₁ | = c₁b₂ - c₂b₁
| c₂ b₂ |

Dᵧ = | a₁ c₁ | = a₁c₂ - a₂c₁
| a₂ c₂ |

三、三阶行列式

3.1 三阶行列式的定义

对于一个3×3的矩阵：

| a₁ b₁ c₁ |
| a₂ b₂ c₂ |
| a₃ b₃ c₃ |

它的行列式计算相对复杂一些，有几种等价的算法。我们介绍两种最常用的方法。

3.2 对角线法则（Sarrus法则）

这是专门适用于三阶行列式的简便算法：

1. 将矩阵的前两列复制到右侧：

a₁ b₁ c₁ | a₁ b₁
a₂ b₂ c₂ | a₂ b₂
a₃ b₃ c₃ | a₃ b₃

2. 计算三条主对角线方向（从左上方到右下方）的乘积之和：
   主对角线方向：a₁b₂c₃ + b₁c₂a₃ + c₁a₂b₃

3. 计算三条副对角线方向（从右上方到左下方）的乘积之和：
   副对角线方向：c₁b₂a₃ + a₁c₂b₃ + b₁a₂c₃

4. 行列式 = 主对角线方向之和 - 副对角线方向之和

记忆口诀：主对角线方向相加，副对角线方向相减。

3.3 计算示例

例1：计算矩阵

| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |

的行列式。

解：
主对角线方向：1×5×9 + 2×6×7 + 3×4×8 = 45 + 84 + 96 = 225
副对角线方向：3×5×7 + 1×6×8 + 2×4×9 = 105 + 48 + 72 = 225
行列式 = 225 - 225 = 0

例2：计算矩阵

| 2 0 1 |
| 0 3 4 |
| 1 2 1 |

的行列式。

解：
主对角线方向：2×3×1 + 0×4×1 + 1×0×2 = 6 + 0 + 0 = 6
副对角线方向：1×3×1 + 2×4×2 + 0×0×1 = 3 + 16 + 0 = 19
行列式 = 6 - 19 = -13

3.4 余子式展开法（Laplace展开）

对于更高阶的行列式或某些特殊的三阶行列式，余子式展开法可能更方便。这种方法可以推广到n阶行列式。

以第一行展开为例：

| a₁ b₁ c₁ |
| a₂ b₂ c₂ | = a₁ | b₂ c₂ | - b₁ | a₂ c₂ | + c₁ | a₂ b₂ |
| a₃ b₃ c₃ |      | b₃ c₃ |      | a₃ c₃ |      | a₃ b₃ |

即：
|A| = a₁(b₂c₃ - b₃c₂) - b₁(a₂c₃ - a₃c₂) + c₁(a₂b₃ - a₃b₂)

这种方法虽然看起来复杂，但当某一行或列有多个零时，计算会简化很多。

3.5 几何意义

在三维空间中，三阶行列式的绝对值等于由矩阵的三个列向量（或行向量）所张的平行六面体的体积。

当行列式为0时，意味着三个向量共面，平行六面体的体积为0。

3.6 应用：解三元一次方程组

类似于二阶行列式的情况，三阶行列式也可以用来解三元一次方程组（克莱姆法则）：

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

解为：
x = Dₓ/D
y = Dᵧ/D
z = D_z/D

其中D是系数行列式，Dₓ、Dᵧ、D_z分别是将第1、2、3列替换为常数项后的行列式。

四、行列式的性质

了解行列式的一些基本性质可以帮助我们简化计算：

1. 行列互换，值不变：|A| = |Aᵀ|
2. 两行（列）互换，符号改变
3. 某行（列）乘以k，行列式变为k倍
4. 两行（列）成比例，行列式为0
5. 某行（列）可以拆分为两数之和，行列式可拆分为两个行列式之和
6. 行列式的某行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式值不变

五、常见错误与注意事项

1. 对角线法则仅适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上不能使用
2. 行列式展开时要特别注意正负号，遵循(-1)^(i+j)的规律
3. 行列式是一个数，不是矩阵
4. 只有方阵才有行列式
5. 行列式值为0时矩阵不可逆

六、练习题目

为了巩固所学知识，请尝试计算以下行列式：

| 3 1 |
| 2 4 |

| 1 2 1 |
| 0 3 2 |
| 1 0 1 |

| 2 1 0 |
| 1 2 1 |
| 0 1 2 |

（答案：1. 10；2. -1；3. 4）

结语

通过这篇文章，我们学习了二阶和三阶行列式的定义、计算方法和几何意义。行列式作为线性代数的基础工具，在后续的学习中会反复出现。掌握好这些基础知识，将为学习更高级的线性代数概念打下坚实的基础。

记住，数学学习的关键在于理解概念而非死记公式。希望这篇文章能帮助你建立起对行列式的直观理解。如果有什么问题或需要进一步的解释，欢迎在评论区留言讨论！