二维 根据矩阵变换计算缩放比例

在二维空间中，根据矩阵变换计算缩放比例是一个常见的图形学问题。通常，我们通过分析变换矩阵的结构来提取出缩放（Scale）信息。以下是详细的分析和计算方法。

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🧮 一、基础：二维变换矩阵结构

在二维仿射变换中，常用的变换矩阵形式为 3x3 的齐次坐标矩阵，如下所示：

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

其中：

• $ a, b, c, d $：描述线性变换（如缩放、旋转、剪切）
• $ t_x, t_y $：表示平移
• 最后一行 [0, 0, 1] 是齐次坐标标准形式的一部分

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📐 二、纯缩放矩阵

如果变换矩阵仅包含缩放（无旋转、剪切、平移），则其形式为：

$$\left[\begin{array}{ccc}{S}_x& 0& 0\\ 0& S_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

此时，缩放比例直接为：

• $ S_x $：x轴缩放比例
• $ S_y $：y轴缩放比例

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🧩 三、包含旋转的变换矩阵

如果变换矩阵包含旋转（Rotation）和缩放（Scale），则矩阵形式为：

$$\left[\begin{array}{ccc}{S}_x\cdot \cos \theta & -S_y\cdot \sin \theta & t_x\\ S_x\cdot \sin \theta & S_y\cdot \cos \theta & t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

此时，缩放比例不能直接从 $ a, d $ 提取，而是通过以下方法计算：

✅ 方法一：计算基向量的长度

• x轴方向：取矩阵第一列（忽略平移）向量 $ \vec{v}_x = \begin{bmatrix} a \ c \end{bmatrix} $
  $$S_x=\Vert {\vec{v}}_x\Vert =\sqrt{a^2+c^2}$$

• y轴方向：取矩阵第二列（忽略平移）向量 $ \vec{v}_y = \begin{bmatrix} b \ d \end{bmatrix} $
  $$S_y=\Vert {\vec{v}}_y\Vert =\sqrt{b^2+d^2}$$

✅ 该方法适用于矩阵中没有剪切（Shear）成分的情况。

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📌 四、包含剪切（Shear）的变换矩阵

如果变换矩阵中包含剪切（Shear）成分，那么缩放和剪切信息会相互影响，此时需要使用矩阵分解技术，如：

• 奇异值分解（SVD）
• 极分解（Polar Decomposition）

这些方法较为复杂，通常用于高级图形学或物理模拟中，超出基础缩放提取的范畴。

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📈 五、示例：从变换矩阵中提取缩放比例

假设我们有如下变换矩阵（包含旋转和缩放）：

$$\left[\begin{array}{ccc}3& -4& 0\\ 4& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 第一列：$ \vec{v}_x = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix} $
• 第二列：$ \vec{v}_y = \begin{bmatrix} -4 \ 3 \end{bmatrix} $

计算缩放比例：

$$\begin{gathered} S_x=\sqrt{3^2+4^2}=5 \\ {S}_y=\sqrt{(-4{)}^2+3^2}=5 \end{gathered}$$

因此，该矩阵在 x 和 y 方向都进行了 5 倍的缩放。

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⚠️ 六、注意事项

项目	说明
矩阵方向	确保矩阵是列优先（Column-Major）还是行优先（Row-Major），影响向量提取
剪切影响	若矩阵中包含剪切，直接提取缩放比例将不准确
齐次坐标	平移部分不影响缩放，可忽略
数值精度	实际应用中，注意浮点数误差对计算结果的影响

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✅ 七、总结：如何计算二维变换矩阵的缩放比例

情况	方法
纯缩放矩阵	直接读取对角线元素 $ S_x = a, S_y = d $
包含旋转的矩阵	计算第一列和第二列向量的长度：$ S_x = |\vec{v}_x|, S_y = |\vec{v}_y| $
包含剪切的矩阵	使用 SVD 或极分解等高级方法
实际开发中	可使用图形库（如 Unity、OpenGL、DirectX）提供的矩阵分解函数

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