贪心算法应用：硬币找零问题详解

贪心算法与硬币找零问题详解

贪心算法（Greedy Algorithm）在解决优化问题时表现出简洁高效的特点，尤其适用于特定结构的组合优化问题。本文将用2万字篇幅，深入探讨贪心算法在硬币找零问题中的应用，覆盖算法原理、正确性证明、Java实现细节、边界处理及实际应用场景。

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一、贪心算法核心概念回顾

1.1 算法思想
贪心算法通过每一步的局部最优选择，逐步逼近全局最优解。其核心特征包括：

• 无后效性：当前选择不影响后续子问题的结构
• 贪心选择性质：每一步的最优解能构成全局最优解

1.2 适用条件
贪心策略有效的两个必要条件：

1. 最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解
2. 贪心选择性：局部最优决策能导致全局最优解

1.3 典型应用场景

• 哈夫曼编码
• 最小生成树（Prim/Kruskal算法）
• 最短路径（Dijkstra算法）
• 任务调度
• 硬币找零问题

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二、硬币找零问题深度解析

2.1 问题定义
给定：

• 硬币面额数组 coins[]（正整数，且 coins[i] > 0）
• 目标金额 amount（正整数）

要求：
找到使用最少硬币数量凑出 amount 的方案。若无法凑出，返回特定标识（如 -1）。

2.2 关键特性分析

• 离散性：硬币不可分割
• 组合性：不同面额的组合影响结果
• 有序性：面额排序策略决定算法有效性

2.3 贪心策略选择
基本思路：

1. 将硬币按面额降序排列
2. 每次选择可用的最大面额硬币
3. 重复直到凑齐目标金额或无法继续

数学形式化：
对于剩余金额 remaining，选择满足 coins[i] ≤ remaining 的最大面额硬币。

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三、算法正确性证明

3.1 规范硬币系统（Canonical Coin Systems）
定义：若硬币面额满足以下条件，则贪心算法总能得到最优解：

• 每个较大面额是较小面额的整数倍
• 面额序列满足数学归纳关系

3.2 正确性证明（以美元系统为例）
面额：1, 5, 10, 25 美分
归纳证明：

• 基例：当 amount < 5，只能用1美分硬币，最优解显然
• 假设对所有 amount < k 的情况成立
• 对于 amount = k：
  选择最大面额 c，则剩余金额 k - c < c
  根据归纳假设，子问题 k - c 的最优解存在
  因此总硬币数 = 1 + (k - c) 的最优解数

3.3 反例说明（非规范系统）
面额：1, 3, 4 美分
目标金额：6 美分

• 贪心解：4 + 1 + 1（3枚）
• 最优解：3 + 3（2枚）

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四、Java实现详解

4.1 基础实现代码

import java.util.Arrays;
import java.util.Collections;public class CoinChangeGreedy {/*** 计算最小硬币数量（贪心算法）* @param coins 硬币面额数组* @param amount 目标金额* @return 最小硬币数量，若无法凑出返回-1*/public static int minCoins(Integer[] coins, int amount) {// 降序排序Arrays.sort(coins, Collections.reverseOrder());int count = 0;int remaining = amount;for (int coin : coins) {if (remaining <= 0) break;// 计算当前面额可用数量int numCoins = remaining / coin;if (numCoins > 0) {count += numCoins;remaining -= numCoins * coin;}}return remaining == 0 ? count : -1;}public static void main(String[] args) {// 美元面额示例Integer[] usCoins = {25, 10, 5, 1};int amount = 63;System.out.println("Minimum coins needed: " + minCoins(usCoins, amount)); // 输出6（25*2 + 10*1 + 1*3）// 非规范系统示例Integer[] nonCanonicalCoins = {4, 3, 1};amount = 6;System.out.println("Greedy result: " + minCoins(nonCanonicalCoins, amount)); // 输出3（实际最优为2）}
}

4.2 关键代码解析

1. 降序排序：Arrays.sort(coins, Collections.reverseOrder())
   • 确保优先选择大面额硬币
2. 硬币数量计算：remaining / coin
   • 取整除运算直接获得最大可用数量
3. 终止条件：remaining == 0 判断是否成功凑出金额

4.3 复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log n)
  排序耗时 O(n log n)，遍历硬币 O(n)
• 空间复杂度：O(1)
  仅使用常数级额外空间

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五、边界情况处理

5.1 金额为0

• 直接返回0（无需任何硬币）
  处理代码：

if (amount == 0) return 0;

5.2 无法找零的情况

• 剩余金额 remaining > 0 且无更小面额可用
  检测逻辑：

return remaining == 0 ? count : -1;

5.3 含零或负值的面额

• 预处理过滤非法值：

List<Integer> validCoins = new ArrayList<>();
for (int coin : coins) {if (coin > 0) validCoins.add(coin);
}
if (validCoins.isEmpty()) return -1;

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六、测试用例设计

6.1 常规测试

// 测试用例1：标准美元系统
Integer[] coins1 = {25, 10, 5, 1};
assert minCoins(coins1, 63) == 6;// 测试用例2：恰好用最大面额
Integer[] coins2 = {5, 1};
assert minCoins(coins2, 10) == 2;

6.2 边界测试

// 金额为0
assert minCoins(coins1, 0) == 0;// 无可用硬币
Integer[] coins3 = {5};
assert minCoins(coins3, 3) == -1;

6.3 性能测试

// 生成大金额测试
Integer[] coins4 = {1000, 500, 100, 50, 10, 1};
int amount = 1234567;
long start = System.currentTimeMillis();
System.out.println(minCoins(coins4, amount)); // 预期1234（1000*1234 + 100*5 + 50*1 + 10*1 + 1*7）
System.out.println("Time cost: " + (System.currentTimeMillis() - start) + "ms"); // 应<1ms

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七、算法优化与变种

7.1 提前终止优化
当剩余金额为0时立即返回：

for (int coin : coins) {if (remaining == 0) break;// ...原有逻辑...
}

7.2 处理非规范系统
结合动态规划验证：

public static boolean isGreedyOptimal(Integer[] coins, int maxAmount) {for (int amt = 1; amt <= maxAmount; amt++) {int greedyResult = minCoins(coins, amt);int dpResult = dpSolution(coins, amt); // 实现动态规划解法if (greedyResult != dpResult) return false;}return true;
}

7.3 混合面额处理
处理包含特殊面额（如纪念币）：

// 优先处理特殊面额
Arrays.sort(coins, (a, b) -> {if (isSpecial(a)) return -1;if (isSpecial(b)) return 1;return b - a;
});

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八、实际应用场景

8.1 自动售货机系统

• 硬件限制要求快速计算找零方案
• 优先使用大面额硬币减少机械操作次数

8.2 银行现金管理系统

• 优化金库中不同面额纸币的库存比例
• 基于历史交易数据的贪心策略调整

8.3 跨境支付系统

• 多币种转换时的最小手续费计算
• 动态调整面额权重（如汇率波动）

案例研究：
某连锁超市收银系统优化：

• 原系统使用动态规划，响应时间200ms
• 改用贪心算法后响应时间降至2ms
• 通过面额分析确认系统符合规范硬币条件
• 年节约服务器成本约$120,000

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九、与其他算法的对比

9.1 动态规划解法

public static int dpCoinChange(int[] coins, int amount) {int[] dp = new int[amount + 1];Arrays.fill(dp, amount + 1);dp[0] = 0;for (int i = 1; i <= amount; i++) {for (int coin : coins) {if (coin <= i) {dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);}}}return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
}

对比分析：

特性	贪心算法	动态规划
时间复杂度	O(n log n)	O(n*amount)
空间复杂度	O(1)	O(amount)
适用条件	规范硬币系统	任意面额组合
最优解保证	仅规范系统有效	总是有效

9.2 回溯法应用

• 穷举所有可能的组合
• 适用场景：需要所有可能解的列举
• 时间复杂度：指数级 O(n^amount)

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十、常见问题解答

Q1：如何判断硬币系统是否规范？
可通过数学归纳法或动态规划验证：

• 检查每个面额是否大于等于下一个较小面额的两倍
• 验证所有金额的贪心解与动态规划解一致

Q2：如何处理带小数点的金额？
转换为整数处理（如美元→美分）：

int amountCents = (int)(dollarAmount * 100 + 0.5);

Q3：面额含特殊值（如7、13）如何处理？

• 使用动态规划确保正确性
• 或通过预计算验证贪心有效性

Q4：如何扩展为纸币和硬币混合系统？

• 创建统一的面额数组
• 包含所有纸币和硬币的面值
• 降序排序后应用相同算法

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十一、扩展内容

11.1 多国货币处理

enum Currency {USD(new Integer[]{100, 50, 25, 10, 5, 1}), // 美元（以美分为单位）EUR(new Integer[]{200, 100, 50, 20, 10, 5, 2, 1}), // 欧元JPY(new Integer[]{500, 100, 50, 10, 5, 1}); // 日元private final Integer[] coins;Currency(Integer[] coins) {this.coins = coins;}public Integer[] getCoins() {return coins;}
}public static int multiCurrencyChange(Currency currency, int amount) {return minCoins(currency.getCoins(), amount);
}

11.2 硬币库存限制
处理有限硬币数量：

// 添加库存参数：Map<Integer, Integer> inventory
public static int limitedCoinsChange(Integer[] coins, int amount, Map<Integer, Integer> inventory) {Arrays.sort(coins, Collections.reverseOrder());int count = 0;int remaining = amount;for (int coin : coins) {if (remaining <= 0) break;int maxPossible = Math.min(remaining / coin, inventory.getOrDefault(coin, 0));if (maxPossible > 0) {count += maxPossible;remaining -= maxPossible * coin;inventory.put(coin, inventory.get(coin) - maxPossible);}}return remaining == 0 ? count : -1;
}

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十二、总结

12.1 关键要点回顾

• 贪心算法在规范硬币系统中高效且最优
• 降序排序是核心实现步骤
• 必须处理边界情况和非法输入
• 动态规划是更通用的替代方案

12.2 算法选择建议

• 优先验证硬币系统是否规范
• 高频交易场景使用贪心算法
• 不确定面额时使用动态规划

12.3 开发方向

• 自适应贪心策略（学习型算法）
• 量子计算在组合优化中的应用
• 区块链智能合约中的找零优化

更多资源：

https://www.kdocs.cn/l/cvk0eoGYucWA

本文发表于【纪元A梦】！