复变函数中的对数函数及其MATLAB演示

复变函数中的对数函数及其MATLAB演示

引言

在实变函数中，对数函数$\ln x$定义在正实数集上，是一个相对简单的概念。然而，当我们进入复变函数领域时，对数函数展现出更加丰富和复杂的性质。本文将介绍复变函数中对数函数的基本概念、性质，并通过MATLAB进行可视化演示。

复对数函数的定义

复对数函数是实对数函数的推广。对于非零复数$z$，其对数定义为：

$$\ln z=\ln |z|+i(\mathrm{Arg}(z)+2\pi k),k\in \mathbb{Z}$$

这里：

• $|z|$是$z$的模
• $\mathrm{Arg}(z)$是$z$的主辐角（通常取$(-\pi ,\pi ]$）
• $k$为任意整数，表明复对数是一个多值函数

主值（当$k=0$时）记为：
$$\mathrm{Ln}z=\ln |z|+i\mathrm{Arg}(z)$$

复对数的性质

1. 多值性：复对数函数有无穷多个值，各值相差$2\pi i$的整数倍

MATLAB演示

计算复对数:
MATLAB中使用log函数计算复对数的主值：

z = 1 + 1i;
ln_z = log(z);
disp(['主值: ', num2str(ln_z)]);
disp(['实部(ln|z|): ', num2str(real(ln_z))]);
disp(['虚部(Arg(z)): ', num2str(imag(ln_z))]);

运行结果：

结论

Matlab中log函数可以直接计算复数的主值