梯度下降：机器学习优化的核心算法

梯度下降算法原理及其在机器学习中的实践应用

引言

在机器学习领域，优化算法扮演着核心角色。其中梯度下降法作为最基础的优化方法，为神经网络、支持向量机等模型提供了参数优化解决方案。本文将深入解析梯度下降的数学原理，探讨其多种变体实现，并通过Python代码演示具体应用。

一、梯度下降基本原理

1.1 算法核心思想

梯度下降法通过迭代方式寻找目标函数的极小值点。其核心公式可表示为：

$${\theta }_{t+1}={\theta }_t-\alpha \nabla J({\theta }_t)$$

其中$\alpha$表示学习率，$\nabla J(\theta )$为目标函数的梯度。算法通过不断沿负梯度方向调整参数，逐步逼近函数最小值。

1.2 数学基础

考虑二次可微函数$J(\theta )$，在点${\theta }_t$处进行泰勒展开：

$$J({\theta }_{t+1})\approx J({\theta }_t)+\nabla J({\theta }_t{)}^T({\theta }_{t+1}-{\theta }_t)+\frac{1}{2}({\theta }_{t+1}-{\theta }_t{)}^{T}H({\theta }_t)({\theta }_{t+1}-{\theta }_t)$$

当步长满足$\alpha <\lambda$