函数与数列的交汇融合

前情概要

现行的新高考对数列的考查难度增加，那么整理与数列交汇融合的相关题目就显得非常必要了。

典例剖析

• 依托函数，利用导数，求数列的最值；

$№1、$ 等差数列 { a n } \{a_{n}\} {an​} 的前 $n$ 项和为 $S_n$， 已知 $S_{10}=0$， $S_{15}=25$， 则 $n\cdot S_n$ 的最小值为__________.

解: 由于数列 { a n } \{a_{n}\} {an​} 为等差数列， 故可设 $S_n=a{n}^2+bn$， 则 $\{\begin{array}{l}100a+10b=0\\ 225a+15b=25\end{array}$，

解得 $a=\frac{1}{3}$ ，$b=-\frac{10}{3}$， 则$S_n=\frac{1}{3}{n}^2-\frac{10}{3}n$，

从而 $n\cdot S_n=\frac{1}{3}{n}^3-\frac{10}{3}{n}^2$，其依托对应的函数为 $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{10}{3}{x}^2$，

对函数 $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{10}{3}{x}^2$，由于$n\in N^{\ast }$，故不妨限定$x>0$，

先求函数的单调性，$y^{\prime }=x^2-\frac{20}{3}x=x(x-\frac{20}{3})$，

当$x<\frac{20}{3}$时，$y^{\prime }<0$，函数单调递减，当$x>\frac{20}{3}$时，$y^{\prime }>0$，函数单调递增；

则当 $x=\frac{20}{3}$ 时， $y$ 取极小值，

则$n\cdot S_n=\frac{1}{3}{n}^3-\frac{10}{3}{n}^2$在 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } \{1,2,3,4,5,6\} {1,2,3,4,5,6} 上单调递减，在 { 7 , 8 , 9 , ⋯   , } \{7,8,9,\cdots,\} {7,8,9,⋯,} 上单调递增，

又当 $n=6$ 时， $6S_6=-48$，当$n=7$ 时， $7S_7=-49$，

故当$n=7$ 时，$n\cdot S_n$的最小值为$-49$.

• 依托函数，使用裂项相消法求数列的前$n$项的和

$№2、$ 设函数 $f(x)=x^m+ax$ 的导数 $f^{\prime }(x)=2x+2$，求数列 { 1 f ( n ) } \{\cfrac{1}{f(n)}\} {f(n)1​} $(n\in N^{\ast })$ 的前 $n$ 项和 $S_n$

解 因为 $f^{\prime }(x)=2x+2$， 所以 $f(x)=x^2+2x+C$，

因为$f(x)=x^m+ax$， 所以 $m=2$， $a=2$， $C=0$，

即 $f(x)=x^2+2x$，所以 $f(n)=n^2+2n=n(n+2)$，

从而设 $b_n=\frac{1}{f(n)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，

所以$S_n=b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{n-1}+b_n$

$=\frac{1}{2}[(1-\genfrac{}{}{0ex}{}{}{3}$