AcWing 3417：砝码称重——位集合

【题目来源】
3417. 砝码称重 - AcWing题库

【题目描述】
你有一架天平和 N 个砝码，这 N 个砝码重量依次是 W1,W2,⋅⋅⋅,WN。
请你计算一共可以称出多少种不同的正整数重量？
注意砝码可以放在天平两边。

【输入格式】
输入的第一行包含一个整数  N。
第二行包含 N 个整数：W1,W2,W3,⋅⋅⋅,WN。

【输出格式】
输出一个整数代表答案。

【数据范围】
对于 50% 的评测用例，1≤N≤15。
对于所有评测用例，1≤N≤100，N 个砝码总重不超过 10^5。

【输入样例】
3
1 4 6

【输出样例】
10

【算法分析】
● 给定的砝码样例，能称出 10 种重量，分别是：1、2、3、4、5、6、7、9、10、11。

1 = 1；
2 = 6 − 4 （天平一边放 6，另一边放 4）；
3 = 4 − 1；
4 = 4；
5 = 4 + 1；
6 = 6；
7 = 1 + 6；//注意没有8
9 = 4 + 6 − 1；
10 = 4 + 6；
11 = 1 + 4 + 6。
●C++ 的 STL bitset 的位操作（移位、或运算等）比传统显示循环更高效。相比传统数组或哈希表，位运算节省空间且支持并行操作。

● 在砝码称重问题中，‌通过 bitset 的左右移位操作模拟加减法‌，替代显示循环，确实巧妙。
（1）左移（<<）的加法效应‌：左移 w[i] 位等价于数值乘以 2^w[i]，但在 bitset 中实际表示‌将当前所有可称重量 x 增加 w[i]。
‌物理意义‌：模拟砝码放在物品‌异侧‌（天平另一端），称重结果为 x+w[i]。
‌示例‌：若 bitset 状态为 101001（表示 {0,3,5} 克），左移 2 位后状态为 10100100（表示 {2,5,7} 克，即 {0+2,3+2,5+2}。）
（2）右移（>>）的减法效应‌：右移 w[i] 位等价于数值除以 2^w[i]，但在 bitset 中实际表示‌将当前可称重量 x 减去 w[i] 克‌（仅保留 x≥w[i] 的结果）。
‌物理意义‌：模拟砝码放在物品‌同侧‌（天平同一端），称重结果为 |x - w[i]|。
‌示例‌：若 bitset 状态为 10100100（表示 {2,5,7} 克），右移 2 位后状态为 101001（表示 {0,3,5} 克，即 {2-2,5-2,7-2}。）//注意，如果是负数则去掉

● 在砝码称重问题中，s|=s<<w[i] 及 s|=s>>w[i] 是高效的位运算技巧，用于实现状态转移和集合合并。以下介绍或运算（ | ）的并集功能‌。
‌集合合并（|=）‌：通过按位或运算合并新旧集合。例如 10100100 | 101001=10101101，对应 {0,2,3,5,7}。即将 10100100 对应的 {2,5,7} 与 101001 对应的 {0,3,5} 取并集。

【Code】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e2+5;
const int maxm=1e5+5;
int g[maxn];
bitset<maxm> s;
int n;
int main() {cin>>n;for(int i=0; i<n; i++) cin>>g[i];s[0]=1;//s[0]=1 表示重量 0 是可以称出的初始状态，
bitset 的每一位代表一个可能的重量值for(int i=0; i<n; i++) s|=s<<g[i];//计算将砝码放在天平一侧能称出的重量for(int i=0; i<n; i++) s|=s>>g[i];//计算将砝码放在天平另一侧能称出的重量cout<<s.count()-1<<endl;//计算所有能称出的非零重量数量return 0;
}