【数理知识】刚体 rigid body 及刚体的运动

1 刚体

刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体。绝对刚体实际上是不存在的，只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形，如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。

根据相对论，刚体这种物体不可能实际存在，但物体通常可以假定为完美刚体，前提是必须满足运动速度远小于光速的条件。

把许多固体视为刚体，所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。但要研究应力和应变，则须考虑变形。由于变形一般总是微小的，所以可先将物体当作刚体，用理论力学的方法求得加给它的各未知力，然后再用变形体力学，包括材料力学、弹性力学、塑性力学等的理论和方法进行研究。

总的来说，刚体就是质点间距离保持不变的质点系。而刚体的空间位置由任意与刚体固连的不共线三点决定。

2 刚体一般运动

刚体运动（rigid motion）在三维空间中， 把一个几何物体作旋转， 平移的运动，称之为刚体变换。

刚体的运动通常由两个主要部分描述：平移运动和旋转运动。

刚体在空间的位置，必须根据刚体中任一点的空间位置和刚体绕该点转动时的位置（见刚体一般运动）来确定，所以刚体在空间有六个自由度。

1 平移运动

平移运动：这部分非常直观，即刚体沿某个方向移动一段距离。这通常由一个向量表示，向量的方向表示移动的方向，向量的长度表示移动的距离。

2 旋转运动

旋转运动：这部分比较复杂，因为旋转可以围绕任意轴进行，而且不同的旋转顺序可能产生不同的结果（这被称为万向节锁问题）。旋转通常由一个旋转矩阵或四元数表示。旋转矩阵是一个3x3的矩阵，可以将一个向量从一个坐标系变换到另一个坐标系。四元数是一个包含四个元素的数，可以更有效地表示和计算旋转。

刚体的运动也可以用其他方式表示，例如欧拉角或者轴角表示法，但它们通常在数学处理上更复杂。

平移和旋转可以用一个4x4的齐次变换矩阵同时表示。这个矩阵的左上角是一个3x3的旋转矩阵，右上角是一个3x1的平移向量，左下角是一个1x3的零向量，右下角是1。通过乘以这个矩阵，可以将一个刚体从一个位置和方向变换到另一个位置和方向。

在实际应用中，通常需要进行一系列的平移和旋转来描述复杂的运动，例如机器人臂的运动或者三维图形的变换。

Ref

1. 刚体 - 百度百科
2. 刚体 - WikiPedia
3. 刚体运动 - 百度百科
4. 刚体运动学