数值线性代数: 共轭梯度法
本文总结线性方程组求解的相关算法,特别是共轭梯度法的原理及流程。
零、预修
0.1 LU分解
设,若对于
,均有
,则存在下三角矩阵
和上三角矩阵
,使得
。
设,若对于
,均有
,则存在唯一的下三角矩阵
和上三角矩阵
,使得
,并且
。
0.2 Cholesky分解
若对称正定,则存在一个对角元均为正数的下三角矩阵
,使得
。
一、 总论:迭代法求解线性方程组的一般思路
对于非奇异矩阵,
,使用迭代法求解线性方程组
过程中,一般需要以下流程进行:
- 给定一个初始向量
;
- 构造一个递推公式
;
- 不断递推
,使其近似收敛于
;
下表列出了若干迭代算法的迭代公式。
| 方法 | 迭代公式 | 备注 | |
| Jacobi迭代 | 非奇异 | ||
| Gausss-Seidel迭代 | 非奇异 | ||
| SOR迭代 | 非奇异 | ||
| Steepest Descent | 对称正定 | ||
| Conjugate Gradient | 对称正定 | 当 当 |
二、Projection Method
投影法将线性方程组求解问题转换成了最优值求解问题,是求解线性方程组的一大类方法。
在投影法中,令,构造列满秩矩阵
与
,寻找
,满足Petrov-Galerkin条件,即
,均有
。
称为搜索空间,
称为约束空间。若
时,称为正投影算法,否则称为斜投影算法。
三、Krylov Subspace Method
Krylov子空间法本质上也是一种投影法,其核心思想是在更小维度的Krylov子空间内寻找满足精度要求的近似解。即令,构造了
维Krylov子空间
,使得
。
选择不同的,就对应不同的Krylov子空间法。
3.1 Steepest Descent Method
3.2 Hestenes-Stiefel Conjugate Gradient Method
3.3 Preconditioned Conjugate Gradient
参考书籍
Golub G H , Loan C F V .Matrix Computations.Johns Hopkins University Press,1996.
Ford W .Numerical Linear Algebra with Applications using MATLAB. 2014.
徐树方. 数值线性代数(第二版). 北京大学出版社, 2010.
参考文献
Hestenes M R , Stiefel E L .Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems. Journal of Research of the National Bureau of Standards (United States), 1952.
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