matlab进阶：求解在约束条件下的多元目标函数最值（fmincon函数详解）

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💧 fmincon函数说明

Matlab 的 fmincon 函数：寻找约束非线性多变量函数的最小值。

适用于：

• 线性函数
• 非线性函数
• 线性等式和不等式约束
• 非线性等式和不等式约束

目标优化问题的基本形式

$$\min f(x)$$

$$s.t.\{\begin{array}{l}A\cdot x\le b\\ Aeq\cdot x=Beq\\ lb\le x\le ub\\ c(x)\le 0\\ ceq(x)=0\end{array}$$

fmincon语法和参数

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
输入参数：

• fun ：目标函数，注意需要单引号，或者@，（即写为符号函数）
• x0：函数fun参数值的初始化；
• A, b：参数值的线性不等式约束（A * x <= b）
• Aeq, beq：参数值的等式线性约束 (Aeq * x = beq)
• lb, ub：参数值的下界和上界
• options：使用所指定的优化选项执行，options 可设置这些选项
• nonlcon：非线性约束，其参数值一般为约束函数。如果没有非线性不等式或等式约束，设置为 nonlcon = []

输出参数：

• x：输出最优参数值
• fval：输出 fun 在X参数的值
• exitflag： 输出fmincon额外条件值
• lambda ：结构体，其字段包含解 x 处的拉格朗日乘数。
• grad：fun 在解 x 处的梯度。
• hessian：fun 在解 x 处的黑塞矩阵。请参阅fmincon Hessian 矩阵。

💧 算例实战

算例都是比较简单的，希望大家好好理解，单元和多元区别不大，进阶的话重点是关于fmincon求解结果的分析，目标函数属于凸函数还是非凸，是否全局最优还是局部最优，还得考虑fmincon求解的约束容限等。

初始解x0的设定

初始解的设定也很重要，得结合你所选用的算法。下面我都是直接设定x0=rand(2,1)，大家可以尝试修改初始解，看看结果有什么不同。

线性等式和不等式约束

$$\min f(x)=3\cdot x_1+5\cdot x_2$$

$$s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2\le 20\\ 2x_1+x_2\le 30\\ x_1+x_2=10\\ 0\le x_1\le 10\\ 3\le x_2\le 8\end{array}$$

将其与前面目标规划问题的基本形式对照即可，代码如下：

clc
clear
close all
fun=@(x) 3*x(1)+ 5*x(2);
x0=rand(1,2);
A=[1,3;2,1];
b=[20;30];
Aeq=[1,1];
beq=[10];
lb=[0,3];
ub=[10,8];
[x,fval,exitflag]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

非线性等式和不等式约束

这里注意非线性部分得移项成标准形式，即非线性部分≤0和非线性部分=0的形式，下方换成上面形式得移向变号，大家看到负号别讶异。

$$\min f(x)=3\cdot x_1^2+5\cdot x_2^2$$

$$s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2\le 20\\ 2x_1+x_2\le 30\\ x_1+x_2=10\\ 0\le x_1\le 10\\ 3\le x_2\le 8\\ x_1^2-x_2\ge 0\\ x_1-x_2^2+1=0\end{array}$$
主函数：

clc
clear
close all
fun=@(x) 3*x(1)^2+ 5*x(2)^2;
x0=rand(1,2);
A=[1,3;2,1];
b=[20;30];
Aeq=[1,1];
beq=[10];
lb=[0,3];
ub=[10,8];
[x,fval,exitflag]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'mycon')

新建mycon.m函数

function [c,ceq]=mycon(x)
c=-x(1)^2+x(2);
ceq=-x(1)-x(2)^2+1;

含有求和公式目标函数

若目标函数含有求和公式，如何用代码表示呢？

$$\min f(x)=\sum _i^{50}(x_i-1{)}^2$$

• 其中x为自变量，c为已知量

则我们的目标函数为

function f = fun(x)
f = 0;
for i=1:50f = f + (x(i) - 1)^2
end