模型法在初中物理中的实例与应用

摘要：模型法是初中物理解题的重要方法，它的优点有方便快捷，易于理解等。文章通过列举模型法在初中物理解题时应用的例子，与模型法在学习与生活中的实际应用，说明了模型法可用性高，易于理解，能让学生理解事物的本质规律等特点，开拓学生解题思维，提升学生解题能力。文章还具体介绍了模型法的使用方法，对学生学习初中物理有一定参考性。

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关键词：初中物理 模型法 光学 运动学

引言：在初中物理和数学的学习中，我们会学习各种各样的公式，其中，它们有一些是含有未知数的等式，还有一些是不等式，它们都是数学模型，数学模型是从现实事件中抽象出来的数学结构，并且还能一定地反映现实事件，是人们在生活和科学研究中的重要工具。我们在初中物理中也会学习几个模型，如v=s/t，ρ=m/v等，它们都反映了几个物理量的数学关系，是现实中物理事件的浓缩品，能很好的帮助我们理解现实事件，而且使复杂问题简单化。因此，在解题过程中合理运用模型法，既快速，又便捷。文章具体说明模型法的应用与实例，建议学生多采用模型法解题，在生活中多应用模型。

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一、模型的探究与解题实例

1. v=s/t

（1）v=s/t的初步探究

v=s/t是一个描述路程、时间、速度的物理公式，背景是匀速运动。假如有一个人以速度v1走了总路程s的前半部分，然后继续以速度v2走了总路程s的后半部分，请问这个人在全程中的平均速度是多少？这个问题看似无从下手，因为我们只知道总路程s，而不知道总时间，所以无法直接用匀速运动的公式计算。但我们可以设总时间为t，总时间t就等于前半部分时间加后半部分时间，而前半部分时间等于½s/v1，后半部分时间等于½s/v2，所以t= ½s/v1+½s/v2，进而得：

化简得：

这就是一个简洁的模型，反映了平均速度与前一半和后一半速度的关系，使解填空选择等题时可以直接套用模型，提高解题速度。比如：[1]一天早晨，小明起床晚了，急急忙忙地以3m/s的速度快步走向学校。当走了从家到学校一半的路程时，他发现时间还早，于是，他又以1m/s的速度走完后半程。求小明全程的平均速度。带入模型，求得小明的平均速度v=2*3m/s*1m/s/3m/s+1m/s=1.5m/s

可见在知道同类情况的模型下，解决物理问题只是改变模型参数，并带入模型计算的过程。

（2）v=s/t的其它模型实例

在学习声学时，我们常常遇到求声音在不同介质中传播的时间差，以及乘坐载具与某山崖产生回声等问题，本文将列举两个。

①声音在不同介质中传播的时间差

假设时间差为Δt，传播距离为s，第一种介质的速度为v1，第二种介质的速度为v2，易得：

我们还可以进一步通分：

很明显，通分过后的模型是没有最初的模型简洁的，所以我们要根据题目已知条件合理选择并使用模型，比如：[2]已知人耳区分两次声音的时间间隔为0.1s以上，现有一根长6.8m的直铁管，如果你将耳朵贴在铁管的一端，让另一个人去敲击一下铁管的另一端，你能听到___次敲打的声音（已知声音在空气中的传播速度为340m/s，在铁中的传播速度为5200m/s）。该题很明显是求声音在空气中与在铁管中传播的时间差，并判断时间差是否小于0.1s。代入上述模型中，我们求得：Δt=6.8m/340m/s-6.8m/5200m/s≈0.02s，又因为0.02s<0.1s，所以人耳只能听到一次敲打声。或者使用通分后的模型，得：Δt=6.8m（5200m/s-340m/s）/5200m/s*340m/s≈0.02s。相比之下，两个模型各有自己的优点和缺点，第一个模型虽然简便，但是需要计算两次除法，计算除法也就只能保留小数部分，再将估算后的结果相减，结果就更不精准了。而通分后的模型是先计算乘法，然后再计算一次除法，也就只会经历一次估算，结果自然更准确。

②山崖回声问题

山崖回声问题通常都有两种情况，一是面向山崖运动，二是背向山崖运动，所以要完成该模型，我们需要分类讨论。

当面向山崖运动时，假设运动速度为v1，声速为v2，发声时距离山崖s，运动物体在时间t时听到回声。易得：声音到达山崖时所用的时间为s/v2，声音到达山崖时运动了v1s/v2，声音到达山崖时距离山崖s-v1s/v2，此时声音与运动物体变为了相向而行，再除以速度和（v1+v2），还应加上声音传播时间s/v2，即可得到模型为：

当背向山崖运动时，假设运动速度为v1，声速为v2，发声时距离山崖s，运动物体在时间t时听到回声。易得：声音到达山崖时所用的时间为s/v2，声音到达山崖时运动了v1s/v2，声音到达山崖时距离山崖s+v1s/v2，此时声音与运动物体变为了同向而行，再除以速度差v2-v1（v2>v1，否则听不见回声），即可得到模型为：

这两个模型也可以进行通分，得：

面向山崖而行时：

背向山崖而行时：

为了将该模型适用于不同的题型，我们也可以用将已知条件带入模型，并采用解方程的方法求得未知值，或者是采用该模型的变式，直接求出未知值，本文将对两种方法做一个比较。

例如：[3]火车在进入隧道前必须鸣笛，一列火车的运行速度是72km/h，司机在鸣笛后2s听到隧道口处山崖反射的回声。声音在空气中的传播速度v空=340m/s，求火车鸣笛时离隧道口的距离。题目中的已知条件对应到模型中：v1=72km/h，v2=340m/s，t=2s，由模型列出方程（为了区分秒与路程s，将路程s写为s1）：

解得：s1=360m，答案正确。

或者使用该模型的变式：

求得s1=360m，对比这两种方法，发现使用模型变式的方法更为简单，但不便记忆，所以我们可以选择适合自己的方法。

（3）v=s/t的深入探究与对模型举一反三的思考

在前文举了几个例子，体现出了v=s/t这个最基本的模型的各种变式，只要对应的物理量不变，那模型的本质也不会变。之前讨论的匀速运动，现在，我通过对变速运动的探究，来体现出模型举一反三的作用。求变速运动的速度关系，已知条件一定是时间与路程的关系，比如s=t²，求出来的速度也是随时间变化而变化的，也就是说v=f（t）。

现在只知道匀速运动的公式，怎么求得f（t）呢？我们可以将时间t分为无限个小份，每份为Δt在每Δt的时间运动了路程Δs，则瞬时速度就为Δs/Δt，也就是说，在s+Δs的路程中使用了t+Δt的时间。代入得：

化简得：

又因为s=t²：

从而求得：

因为Δt无限接近于零，所以v=2t，这是一个典型的匀加速运动，从细看，这个瞬时速度的求法，也无非是v=s/t这个基本模型的变式和举一反三罢了。学生应该学会对基本模型的举一反三，从匀速运动到变速运动，两者看似相差千里，其实不过是同一种模型的变式，与举一反三的结合。著名物理学家牛顿正是从小小的v=s/t引发了无限的思考，才促进了物理与数学的发展，才发现了微积分。

2. 由ρ=m/v到y=kx

（1）ρ=m/v模型与v=s/t模型的共同点与延申

在初中物理中，学生要学习《质量与密度》一章，在这一章，有一个和v=s/t极其相似的模型，也就是ρ=m/v。它们的共同点在于：v和ρ这两个物理量都是采用比值定义法定义的抽象的物理量，且s和t，m和v都成正比例关系。像这样的物理模型有很多，比如：△F=-k·Δx，f=μN，G=mg等。因此，学生记背公式的时候可以深刻理解y=kx式的公式结构与正比例关系，可以帮助学生更好的理解公式并在解题时更好的获得灵感。

前文具体介绍了v=s/t的使用与变式，下文将举一反三，以ρ=m/v为例探究

正比例关系的物理量的规律与变式。

（2）ρ=m/v模型及y=kx模型的变式

ρ=m/v是一个表示当ρ不变时，m与v成正比例关系的模型。ρ=m/v有什么变式呢？类比v=s/t，在前文“v=s/t的初步探究”中，讨论了“一半路程”的模型，结合ρ=m/v与v=s/t的共同点，将v=s/t替换成ρ=m/v，将碰撞出怎样的火花呢？假如一个质量为m，密度不均匀的物体被切成了质量相同的两份，一部分的密度为ρ1，另一部分的密度为ρ2，请问原物体的平均密度ρ为多少？将一半路程的模型换为一半质量的模型，得：

原来密度公式的变式可以与速度公式一样，只不过是表达的物理量不同罢了。虽然每一种正比例关系的物理量都可以有同样的变式，但是有一些表达的意思很难想象，而且十分奇怪，比如μ=f/N，“一半滑动摩擦力”模型？假如在一次滑动摩擦中，一部分使用了½f的滑动摩擦力，且这一部分的动摩擦系数为μ1，另一部分也使用了½f的滑动摩擦力，且这一部分的动摩擦系数为μ2，求这次滑动摩擦的动摩擦系数，这种解释看似奇怪，实际上是成立的，可能在一次滑动摩擦中，接触面的粗糙程度不均匀，或者是压力大小在变化。因此，可以得出一半滑动摩擦力的模型：

经过几轮的猜想，基本可以得出，只要是形如y=kx的物理量，都有“一半y”的模型，如下：

这里的k是指由比值定义法定义出的物理量，假如一个物理量k，是由x/y定义的，其中½y的物理量对应k1，另外½y的物理量对应k2，则k、k1、k2满足“一半y”模型。“一半y”模型始终成立，可以通过枚举和推导证明。那猜想一下，“一半x”模型存在吗？“一半x”模型是怎么样的呢？假如一个物理量k，是由x/y定义的，其中½x的物理量对应k1，另外½x的物理量对应k2，则k、k1、k2满足“一半x”模型。首先k是满足x/y的，所以只需要推导出x/y与k1、k2的关系，就可以完成模型。易得：

化简得：

这个“一半x”的模型十分简洁，k就等于k1+k2的平均值。在初中物理解题中，这个模型也非常常见，比如：[4]一天早晨，小明起床晚了，急急忙忙地以3m/s的速度走向学校。当走了300s后，发现时间还早，于是，他又以1m/s的速度走了300s就到达了学校。求小明全程的平均速度为____。这道题非常简单，只需要算出前半部分和后半部分的路程，然后相加，得到总路程，再除以总时间，得到平均速度为2m/s，这个计算虽然不复杂，但也不简单，如果带入化简后的一半“x”模型，即在一半时间的情况下，平均速度等于速度的平均值，直接求得平均速度2m/s。这种方法计算简单了许多，而且并未使用300s这个条件。这个例子充分体现出模型法解体快捷，简单的特点。

前文总结了y=kx的一半“x”和一半“y”的模型，其实y=kx的变式还有很多，学生应做到遇到不同问题建立不同模型，通过求解模型快速解题，而且应熟记常见模型，忘记时要会推导，而且要学会举一反三，触类旁通，找到适合该类型题目的一般模型。

3. 其它模型与利用图像的“数形结合”、“数形互助”思想

(1)光学模型

前文总结的模型大多都是由代数式组成的等式，在初中物理中要学习的光学模型就不是由代数式组成的等式，而是几何模型，例如光的反射定律：

上图直观的说明了光的反射定律，即∠i=∠r，这是一个十分简单的几何模型，它能有哪些变式呢？例如：[5]入射光线与镜面成55°角，转动平面镜使入射角增大5°，则入射光线与反射光线的夹角应为____°，该题是一道旋转镜面的题，通过画图，易得答案为80。但是画图十分繁琐，而且一些学生可能很难理解题意。所以我们建立一个此类题的模型。先将题目变为：入射光线与法线成α°角，转动平面镜使入射角增大β°，则入射光线与反射光线的夹角应为____°

由题意得：α=β+γ，α+β=γ+δ

∴入射光线与反射光线的夹角（α＋β+γ+δ）=2（α+β）

带入此题，先求得入射角α=35°，然后直接求得入射光线与反射光线的夹角（α＋β+γ+δ）=2（α+β）=2（35°+5°）=80°，答案正确。

除了光的反射定律，凸透镜成像规律也是一个典型的几何模型。学生经常记不住凸透镜成像规律，是因为凸透镜成像规律的表格十分枯燥，而且难以理解，即使记住了也容易忘记。但是学生如果像本文将要讲的模型法来记，既记得快速，而且还记得牢固，解题时思路也更清晰。

观察上面的五幅凸透镜成像规律图，不难发现物体是从2倍焦距外，从左往右运动，一直运动到一倍焦距内。而凸透镜成像规律则是讨论的像的位置关系，其实本质上是平行于主光轴的光线经过折射后过焦点的光线，与过光心的光线的交点或是其反向延长线的交点的位置关系。

由上图可得：△ABO∽△A’B’O ,△COF∽△A’B’F

∴AB:A’B’=u:v,CO:A’B’=f:(v-f)

∵AB=CO ∴AB:A’B’=f:(v-f)

∴u:v=f:(v-f),u(v-f)=vf,uv-uf=vf

∵uvf≠0

∴(uv/uvf)-(uf/uvf)=vf/uvf

∴1/f=1/u+1/v

上述几何推导简单地证明了1/f=1/u+1/v这个等式，得出了凸透镜成像的模型，这个模型涵盖了上述所有的动态情况。如何通过它来解题呢？例如：[6]一个物体沿凸透镜的主光轴移动，当物体距凸透镜25cm时，在凸透镜另一侧15cm处得到一个倒立的、缩小的实像，该凸透镜焦距___。A.在15至25cm之间 B.在7.5至12.5cm之间 C.小于7.5cm或大于12.5cm D.无法确定 。根据1/f=1/u+1/v列出方程，1/f=1/25+1/15，解得：f=75/8，故选B。很明显，如果运用模型，根本不需要倒立缩小实像的条件，而且计算也十分简单，根本不需要解不等式。但是题目想考查的明显是根据倒立缩小实像的条件列不等式，所以学生也应该掌握列不等式的方法。凸透镜成像规律还有许多题型，因此，记住凸透镜成像规律还是很重要的，教师可以通过推导上述模型来使学生加深印象。

（2）解析法在初中物理的应用

解析法又称为分析法，它是应用解析式去求解数学模型的方法。在物理中，我们也可以使用解析法解决各类问题，适当地建立坐标系，或者利用现有坐标系求到解析式，从而计算模型。比如，使用建立坐标系的方法可以轻而易举的证明上述凸透镜成像公式，以主光轴为x轴，光心为原点，凸透镜所在直线为y轴。设AB=a，A’B’=b易得：过光心的光线解析式为y=-（a/u）x，过焦点的光线的解析式为y=-（a/f）x+a，设交点为（v，-b），易得：

∴-（a/u）v=-（a/f）v+a

∴（a/u）v=（a/f）v-a

∴av/u=av/f-a

∴fu（av/u）=fu（av/f）-fua

∴fav=uav-fua，即fv=uv-fu

∵uvf≠0

∴(uv/uvf)-(fu/uvf)=fv/uvf

∴1/f=1/u+1/v

上述证明过程是利用解析法，建立平面直角坐标系证明的凸透镜成像公式，这种证法看似比相似三角形的证法复杂很多，但是更易于理解，只要计算不出错，基本就没有什么问题。

解析法除了有证明物理公式的作用，通过画函数图像，还能使物理题更加直观，可以把物理中有多个变化量的问题转化为求函数解析式，或求坐标的问题。例如：[7]小雨家离重庆图书馆2.5km，他以5km/h的速度步行前往图书馆，出发10min后妈妈发现小雨的笔记本忘记带上，立即以15km/h的速度沿小雨步行的方向骑车去追小雨。如果小雨在妈妈2min后也发现自己的笔记本忘记带上并立即掉头返回，则小雨与妈妈在途中相遇时离图书馆多少米？这道题是一道极其复杂的匀速运动问题，涉及到许多物理量，所以可以考虑使用解析法解题，如下图：

图中，AB和BC代表小雨，DC代表妈妈，其中，AB段是小雨向图书馆行动的部分，BC是小雨在12min时发现忘带笔记本后掉头行驶的部分，DC是妈妈在10min时发现小雨并追赶小雨直至相遇的部分，此题是求相遇时离图书馆多少米，也就是说此题的答案为1000（2.5-yc）米，只需求到DC和BC的解析式并且求出交点，就能解决本题。因为小雨最初的速度是5km/h，所以AB的斜率即为5，AB的解析式即为y=5x，小雨返回的时间是12min，即0.2h，所以当x=0.2时，B（0.2，1）。然后小雨又掉头返回，易得BC的解析式为y=-5x+2。因为妈妈是在10min后出发，即1/6h后出发，所以D（1/6，0），又因为DC的斜率为15，所以DC的解析式为：y=15x-2.5，进而得交点C的坐标为（0.225，0.875），yc=0.875，所以此题的答案为1000（2.5-0.875）=1625m。经检验，答案正确。

这种计算方法充分体现出数形结合、数形互助思想，使原本难以理解的题目变得简单易懂，虽然计算可能较为复杂，但非常适合思维能力不强的学生，也能使他们提升解题速度。

（3）如何快速地建立模型并解题

还记得前文中的山崖回声模型吗，这个模型得出的结论虽然正确，但是推理过程却有点复杂。这里以面向山崖行驶的模型为例。利用上文所说的图像法，可以画出山崖回声模型的示意图。

由上图很容易发现声音和运动物体所运动的路程和正好是2s，也就是说：v1t+v2t=2s，所以t（v1+v2）=2s，等式两边同时除以（v1+v2），从而轻松得到上述模型，比上述模型的推导过程简单得多。通过两种模型推导方式的对比，我们可以得出结论，即使用图像法使模型的推导更加直观，可以使推导模型少走许多弯路，在考试中也就可以进一步节省时间。

再比如凸透镜成像的模型，在我们知道并熟悉模型的图像后，做一些图像题也就更容易，例如：[8]如图所示，小明同学在探究凸透镜成像规律时，记录并绘制了物距u和像距v之间的关系图象。下列说法正确的是（  ）

A. 凸透镜的焦距为20cm B.物距为5cm时，可以通过移动光屏承接到清晰的像 C.物距为15cm时，成放大的像，根据这一原理可以制成投影仪 D.物距由15cm增大到30cm的过程中，在光屏上看到的像一直是变大的。

观察该图，可以猜测这是两个成反比例关系的物理量，再看题目，果然是物距与像距的关系。由该曲线解析式可得1/20+1/20=1/f，所以f=40，故A错误。（也可以用凸透镜成像规律理解）。求到焦距后很容易使用凸透镜成像规律判断BCD的对错，得出答案是B。而熟悉图像的作用就是一眼就能看出焦距是多少，方便后面的判断。

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二、模型在生活中应用的实例

前文主要是讲模型在解题中的应用，本部分要讲模型在生活中应用的实例，通过观察发现，前文建立模型的步骤大致分为这几个：模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型的分析与检验。举一个很简单的例子，假如一个人在灯下行走，求他行走的路程与影子长度的函数关系式。首先我们已经完成了模型准备了，明确了问题是什么。模型假设，先看我们的问题涉及到了哪几个量，首先人的高度和灯的高度是必不可少的，而且人的初始位置也是必不可少的。将人的高度设为h人，灯的高度设为h灯，人最初距灯s1，人行走的距离是s，影子长度是l。如下图：

上图形象地反映了各个物理量，现在进入模型建立。要探究s与l的关系首先要弄清这是什么物理现象，很明显是光沿直线传播的现象，不难得出，灯的顶点，人的顶点，影子的顶点三点共线，如下图：

因为人和灯是垂直于地面的，所以不难看出两个三角形相似。先求人与灯的距离，这里需要分类讨论，当人往左走时距离为|s1-s|，当人往右走时，距离为s1+s。由相似可得：

化简得：

这就是一个简单的模型，模型建立完成后，下一步是模型求解，将身高等物理量带入模型，这里的身高为1.7m，最初距灯3m，灯高4m，易得：

或：

画出图像：

①

②

最后进入到模分析与检验，问题：我在离灯3m的地方向灯方向走了10m，我高1.7m，灯高4m，求我影子的长度。s=10m，带入模型，l=2.975m，与图像吻合，经实际测验，该模型没有错。该模型只是一个极其简单的模型，通过举一反三，我们还可以得出这样一个问题：一个圆形桌子的正上方有一个灯泡，求影子面积与灯泡高度的函数关系式。首先是模型假设，这里列出涉及到的物理量：h灯（灯泡高度），h桌（桌面高度），r桌（桌面半径）。

画出图像：

设影子的半径为r影，通过三角形相似，可以看出：

进而得：

由圆的面积公式可得：

完成模型建立后，开始模型求解，将桌高和桌半径代入模型，这里以桌高和半径都为一米为例：

画出图像：

由图像很明显可以看出，影子变小的速度是先快后慢，最后趋近于平行光。通过求导可以比较精确地得到变化的速度关系（这里速度用y表示，灯高用x表示），为了更加直观，求导后加上负号，如图所示：

由图像可以明显看出，变化的速度是越来越慢，最后无限趋近于零，也就成为了平行光。最后进入模型分析与检验，问题：桌子离地一米，半径一米，灯泡在桌子正上方，距离桌子2米，问影子的面积是多少。代入模型，求得s影大约为12.57平方米，代入图像，计算正确。这个模型只考虑到了光源在桌子的正上方但生活中的实际情况却不是这样，光源很可能不在桌子的正上方。为方便计算，这里以正方形形桌子为例：首先是模型假设，设桌子的边长为l，灯高为h，桌高h1，如图所示：

则四边形IFGH为桌面EDBC的影子，从图的四个侧面可以发现四组相似三角形，但现在我们只知道小三角形的三边，我们至少还应该知道大三角形的一条边的长度，假如将长度为h1的线段平移到A点下方，使它与JA共线，又可以发现四组相似三角形，可以得出：

进而得到：

因为桌子是正方形的，所以我们发现，影子竟也是正方形的，所以可以得到影子的面积：

画出图像（这里以桌高1.3m，桌边长1.5m为例）：

单看图像与之前圆的图像十分相似，再看看它的变化率的图像：

也与前文的大体相似。原以为很复杂的模型，运用正确方法来推导，也是很简单的，由这个模型我们可以得到一个结论：正方形桌子的影子的面积与灯摆放的位置无关，只与灯的高度，桌子的高度和边长有关。前文提到了举一反三的思维方式，这里不禁让人想到，如果是正n边形的桌子会怎么样，如果桌子是不规则的又会怎么样？根据上文的推导，我们已经知道答案了，不管它是什么图形，只要平行于地面，并且灯高一样，那影子面积就与灯摆放的位置无关，而且影子的形状与桌子是相同的。但是，实际情况远没有这么简单，那要是桌子是斜的呢？这里就不做深入探究了。以上是模型法在实际生活中的应用，这样的例子还有很多，需要我们用模型的眼光来观察生活，用模型来描述生活中的物理现象。