【数模】奇异值分解SVD和图形处理

• 介绍奇异值分解在图形压缩中的运用，并将简单介绍下Matlab对于图形和视频的处理

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一、奇异值分解介绍

1.1 基本概念

• 奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是线性代数中一种重要的矩阵分解：
  • U和V都是正交矩阵
  • ∑是奇异值矩阵（和A的大小相同，其主对角元素是从大到小排列的，这些对角元素称为奇异值，其他位置元素为0）
    

1.2 求∑的步骤

1.2.1 U的计算

1.2.2 V的计算

1.2.3 ∑的计算

1.3 利用SVD对数据进行"降维"

• 举例：
• 此处的“降维”：更准确而言是使得矩阵的秩减小，矩阵大小并未改变。
• 保留原矩阵的特征比例
  

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二、Matlab对奇异值分解

• 矩阵压缩

2.1 Matlab自带分解：[U,S,V] = svd(A)

% PPT_example.m文件
A = [4 0 1 6;0 0 5 1;2 1 3 2] % A : 3*4
[U,S,V] = svd(A)
% 注意：U*S*(V的转置) == A
% U:3*3 S：3*4 V ： 4*4
U*S*V' - A 
% 因为浮点数计算的缘故，所以会有非常微小的偏差
% 1.0e-14 * 0.2665 = 0.000000000000002665
U(:,1:2)*S(1:2,1:2)*V(:,1:2)'
U(:,1:3)*S(1:3,1:3)*V(:,1:3)'  % 就是A

2.2 自定义的mysvd函数

• 取自清风老师自定义的，不同于Matlab自带的：使用奇异值分解将矩阵A压缩到指定的特征比例

% mysvd.m文件
function [compress_A] = mysvd(A, ratio)
% 输入变量% A：要压缩的m*n维的矩阵% ratio：(至少)要保留原矩阵的特征比例（100%表示不压缩）
% 输出变量% compress_A：压缩后的矩阵

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三、Matlab图形的处理

• 图片压缩

3.1 RGB模式

• RGB色彩（三原色）：R代表Red（红色），G代表Green（绿色），B代表Blue（蓝色）。
  • 计算机定义颜色时R、G、 B三种成分的取值范围是0‐255，0表示没有刺激量，255表示刺激量达最大值。
  • R、G、B均为255时就合成了白光，R、G、B均为0时就形成了黑色。
  • 灰色图片：R、G、B三原色完全相同；否则称为彩色图片。

3.2 图片压缩的函数

• 函数作用：利用SVD函数对图形进行压缩
• 输入变量
  • photo_address：要压缩的图片存放的位置（建议输入完整的路径）
  • save_address：将压缩后的图片保存的位置（建议输入完整的路径）
  • ratio：要保留原矩阵的特征比例（100%表示不压缩）
  • greycompress: 如果该值等于1，则会彩色的原图片转换为灰色图片后再压缩；默认值为0，表示不进行转换
• 输出变量：无（不需要输出，因为函数运行过程中已经将图片保存了）

% photo_compress.m文件
function []= photo_compress(photo_address, save_address,
ratio, greycompress)

3.3 SVD压缩后的效果

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四、视频分离为图片

4.1 video2photo.m代码文件

• Matlab对视频的要求较高，有的原视频属性详细情况不带帧数，可以采用转化器转个视频格式（如迅捷视频转换器），否则可能会报如下错误：
  • 错误使用 VideoReader/init (line 619)
  • 无法确定所需的编解码器
• video中的对象讲解

%% 读取视频
video_file='迅捷视频转换器转换后的新闻联播.mp4';
video=VideoReader(video_file);
frame_number = video.NumberOfFrames; %视频的总帧数%% 分离图片
for i=1:30:frame_number % 这里演示的是每30帧数保存一次（如果每一帧都全部保存的话所要花费的时间很长）image_name=strcat('C:\Users\hc_lzp\Desktop\数学建模视频录制\第13讲.奇异值分解\代码和例题数据\将视频转成图片\图片\image_',num2str(i),'.jpg');Photo=read(video,i); %读出所在帧的图片对象imwrite(Photo,image_name); %将图片保存到指定的位置
end

4.2 分离效果

4.3 批量处理文件夹内的所有图片

folder_name = 'C:\Users\hc_lzp\Desktop\数学建模视频录制\第13讲.奇异值分解\代码和例题数据\压缩文件夹内的所有图片\葫芦娃七兄弟';
dirOutput=dir(fullfile(folder_name, '*.jpg'));
files={dirOutput.name};
n = length(files);
ratio = 0.9;
for i = 1:nphotoname = files(i);name = photoname{1};photo_address = fullfile(folder_name, name);disp(photo_address)save_address = fullfile(folder_name, strcat('compress_',name));photo_compress(photo_address, save_address, ratio)
end

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五、SVD的评价和应用

5.1 SVD（奇异值分解）评价

1. 优点：简化数据，去除噪声点，对数据降维（减少秩）；
2. 缺点：数据的转换可能难以理解；
3. 适用于数据类型：数值型。

• 通过SVD对数据的处理，可对原始数据进行精简，实际上是去除了噪声和冗余信息，以此达到了优化数据的目的。

5.2 SVD的另外两个重要应用

• 潜在语义索引：最早的SVD应用之一就是信息检索，称利用SVD的方法为潜在语义检索（LSI）或隐形语义分析（LSA）
  • 有兴趣可以去阅读吴军老师的《数学之美》。
• 推荐系统：SVD的另一个应用就是推荐系统，较为先进的推荐系统先利用SVD从数据中构建一个主题空间，然后再在该空间下计算相似度，以此提高推荐的效果。