数据结构初阶--二叉树的顺序结构之堆

目录

一.堆的概念及结构

1.1.堆的概念

1.2.堆的存储结构

二.堆的功能实现

2.1.堆的定义

2.2.堆的初始化

2.3.堆的销毁

2.4.堆的打印

2.5.堆的插入

向上调整算法

堆的插入

2.6.堆的删除

向下调整算法

堆的删除

2.7.堆的取堆顶元素

2.8.堆的判空

2.9.堆的求堆的大小

三.堆的创建

3.1.向上调整建堆

时间复杂度

3.2.向下调整建堆

时间复杂度

四.堆的应用

4.1.堆排序

步骤一：建堆

步骤二：排序

4.2.TOP-K问题

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一.堆的概念及结构

1.1.堆的概念

若n个关键字序列L[1...n]满足下面某一条性质，则称为堆(Heap)

1. 若满足：L(i)>=L(2i)且L(i)>=L(2i+1)(1<=i<=n/2)--大根堆(大顶堆)
2. 若满足：L(i)<=L(2i)且L(i)<=L(2i+1)(1<=i<=n/2)--小根堆(小顶堆)

大根堆在逻辑视角上可以看成所有子树根>=左，右的完全二叉树。相应的小根堆也可以看成根<=左，右的完全二叉树。

堆的性质：

1. 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
2. 堆总是一棵完全二叉树。

1.2.堆的存储结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储。

二.堆的功能实现

2.1.堆的定义

typedef int HPDataType;typedef struct Heap
{HPDataType* a;//开辟一个动态数组aint size;//当前元素个数int capacity;//数组的最大容量
}HP;

定义一个struct来保存堆的信息，主要包含数组首元素的地址a，数组中当前元素个数size以及数组的最大容量capacity。堆的定义同顺序表的定义类似。

2.2.堆的初始化

void HeapInit(HP* php)
{//判空assert(php);//将数组首元素的地址位置空php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

在初始化堆之前，首先需要对传入的参数php进行断言判断其是否为空，然后将数组首元素的地址置为空NULL，最后再将size和capacity都初始化为0。

调试分析：

2.3.堆的销毁

void HeapDestory(HP* php)
{//判空assert(php);//释放free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

在销毁堆之前，首先需要对传入的参数php进行断言判断其是否为空，然后调用free函数释放数组首元素的地址，并将数组首元素的地址置为空NULL，最后再将size和capacity都置为0。

调试分析：

2.4.堆的打印

void HeapPrint(HP* php)
{//判空assert(php);//打印for (int i = 0; i < php->size; ++i){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}

首先判断传入的参数php是否为空，然后进行for循环依次打印数组中的各个元素。

2.5.堆的插入

当在堆中插入新元素时，对于小根堆，新元素放到表尾，与父结点对比，若新元素比父结点更小，则将二者互换。新元素就这样一路向上调整，直到无法继续上升为止。

向上调整算法

当在堆的末尾插入一个新元素，而新插入的元素可能会破坏堆的性质，这时就要进行调整。以小堆为例，当新元素大于其对应的父结点，则满足堆的性质，无需调整；当新元素小于其对应的父结点，则不满足堆的性质，要进行调整。

调整规则：

若新插入的元素child小于其对应的父结点parent，则调用Swap函数，将二者进行交换，此时child来到父结点parent的位置，其对应的新的父结点的下标为(child-1)/2，然后将child继续与parent进行比较，依次往上执行，直到child大于其对应的父结点parent，则跳出循环。

循环判断条件为：child>0，这是考虑到最坏的情况，也就是当child一直小于其对应的父结点时，child经过最后一次交换来到根结点的位置时，此时堆的调整已经结束。

实现：

//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//向上调整(小堆)
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{//查找父结点下标int parent = (child - 1) / 2;//最坏情况是一路调整到根while (child > 0){if (a[child] < a[parent])//大堆：a[child]>a[parent]{//将父子结点进行交换Swap(&a[child], &a[parent]);//把父结点的下标赋值给孩子child = parent;//再去查找父结点的下标parent = (child - 1) / 2;}else{//若已构成堆，则直接跳出循环break;}}
}

堆的插入

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{//判空assert(php);//检查容量是否为空或已满if (php->size == php->capacity){//扩容int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;//为空就开辟四个元素空间，不为空，就扩容至二倍HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);//判空if (tmp == NULL){printf("realloc fail\n");exit(-1);}//将新开辟的内存空间的首地址tmp赋值给aphp->a = tmp;//更新capacityphp->capacity = newCapacity;}//插入//先将元素插入到堆的末尾，即最后一个孩子后面//插入之后如果堆的性质遭到了破坏，则将新插入结点顺着其双亲往上调整到合适的位置php->a[php->size] = x;//注意：size指向数组最后一个元素的下一个位置php->size++;//向上调整AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

在堆中插入元素之前，首先需要检查当前容量是否为空或者已满。若容量为空，则调用realloc函数开辟四个元素的内存空间，若容量已满，则调用realloc函数将内存空间开辟到原来的二倍，并将新开辟的内存空间的首地址tmp赋值给a，同时更新capacity。接着便可以插入元素，因为size是指向数组最后一个元素的下一个位置，所以先将新元素x插到下标为size的位置，然后再将size+1。最后再调用AdjustUp函数，进行向上调整。

调试分析：

运行结果：

2.6.堆的删除

堆的删除是删除堆顶的元素，将堆顶的元素与最后一个元素交换，然后删除数组最后一个元素，再进行向下调整。

向下调整算法

当对堆进行删除时，删除的往往是堆顶元素，删除之后可能会破坏堆的性质，这时就要进行调整。以小堆为例，在删除之前，首先将堆顶元素与最后一个元素交换，交换完之后再将最后一个元素删除。然后从根结点开始依次向下调整，直到把它调整为一个小堆。

向下调整算法的前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

调整规则：

首先选出根结点的左右孩子中较小的那一个，这里先假设左孩子最小，然后将左孩子与右孩子进行比较，若左孩子小于右孩子，则不变；若左孩子大于右孩子，则将右孩子设为最小。然后将最小的孩子与父结点进行比较，如果比父结点小，则交换，交换完之后，把孩子结点child所在的下标赋值给父结点parent，并让child指向新的父结点的左孩子，然后依次向下比较，直到调整到叶子结点的位置；如果比父结点大，则调整结束。

实现：

//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{//1.选出左右孩子中小的那一个int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小while (child < size){//当右孩子存在且右孩子小于左孩子if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])//大堆：a[child+1]>a[child]{++child;//则将右孩子置为child}//2.小的孩子跟父亲比较，如果比父亲小，则交换，然后继续往下调整；如果比父亲大，则调整结束if (a[child] < a[parent])//大堆：a[child]>a[parent]{//交换数据Swap(&a[child], &a[parent]);//3.继续往下调，最多调整到叶子结点就结束//把孩子的下标赋值给父亲parent = child;//假设左孩子最小child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}

堆的删除

void HeapPop(HP* php)
{//判空assert(php);//判断数组是否为空assert(php->size > 0);//将第一个元素与最后一个元素交换，然后删除Swap(&(php->a[0]), &(php->a[php->size - 1]));php->size--;//向下调整AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

在删除之前，首先需要判断数组是否为空，若为空则无法进行删除，若不为空则可以进行删除。然后调用Swap函数将数组的第一个待删除元素与数组的最后一个元素进行交换，并让size-1，删除最后一个元素。最后再调用函数AdjustDown，进行向下调整。

调试分析：

运行结果：

2.7.堆的取堆顶元素

HPDataType HeapTop(HP* php)
{//判空assert(php);//判断数组是否为空assert(php->size > 0);//根结点即为堆顶元素return php->a[0];
}

在取堆顶元素之前，首先要对数组进行判空操作，若数组为空则无法进行读取操作，若数组不为空则直接读取数组的首元素，数组的首元素也就是根结点，即为堆顶元素。

调试分析：

运行结果：

2.8.堆的判空

bool HeapEmpty(HP* php)
{//判空assert(php);//看size的大小是否为0return php->size == 0;
}

判断堆是否为空，只需判断size是否等于0，若size为0，则数组为空，即堆为空；若size不为0，则数组不为空，即堆不为空。

调试分析：

2.9.堆的求堆的大小

int HeapSize(HP* php)
{//判空assert(php);//size的大小即为数组的大小，也就是堆的大小return php->size;
}

求堆的大小，只需求数组中当前元素个数，也就是求size的大小。

调试分析：

三.堆的创建

3.1.向上调整建堆

向上调整建堆，实际上是模拟堆的插入过程。首先，将数组中的第一个元素看做是堆的根结点，然后将数组中的元素依次插入堆中，每插入一个元素，就调用函数AdjustUp向上调整一次，直到将所有的元素均插入堆中。

实现：

for (int i = 1; i < n; ++i)//从第一个位置插入
{AdjustUp(a, i);
}

时间复杂度

因为堆是一棵完全二叉树，而满二叉树又是一种特殊的完全二叉树，为了简化计算，我们不妨假设此处的堆是一棵满二叉树。

由上图得，对于高度为h的满二叉树构成的堆，最多进行向上调整的次数设为，有：

综上，证得向上调整建堆的时间复杂度为O(N*logN)。

3.2.向下调整建堆

首先将数组中的元素以完全二叉树的形式排列好，然后从倒数第一个非叶子结点开始，调用函数AdjustDown依次向下调整。每调整一次，则将i的值减1，让其来到倒数第二个非叶子结点的位置，重复上述操作，直到i来到根结点的位置。

实现：

for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//n-1为最后一个结点的下标，求最后一个结点的父结点的下标(n-1-1)/2
{AdjustDown(a, n, i);
}

注意：

我们可以直接通过向上调整算法来建堆，但是我们不可以直接通过向下调整算法来建堆。因为向下调整算法的前提：左右子树必须是堆，才能调整。

时间复杂度

因为堆是一棵完全二叉树，而满二叉树又是一种特殊的完全二叉树，为了简化计算，我们不妨假设此处的堆是一棵满二叉树。

由上图得，对于高度为h的满二叉树构成的堆，最多进行向上调整的次数设为，有：

综上，证得向上调整建堆的时间复杂度为O(N)。 

四.堆的应用

4.1.堆排序

堆排序也就是利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆（升序建大堆，降序建小堆）；
2. 利用堆删除思想来进行排序 。

注意：

升序也可以建小堆，只是每次都要通过建堆的方式选出最小的元素。当进行第一次建堆选出最小的元素并放在数组起始位置时，剩余的元素关系就会发生错乱：原本的左孩子结点会变成新的根结点，右孩子结点会变成新的左孩子结点。然后将剩下的元素继续进行建堆，选出剩余元素中最小的元素并放入数组起始位置的下一个位置，重复上述操作，直到整个数组有序。整体时间复杂度为O(N^2)，可见效率太低，没有使用到堆的优势。因此，升序要建大堆。

我们以升序建大堆为例：

步骤一：建堆

这里采用时间复杂度较低的向下建堆法来进行大根堆的建立。

实现：

//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{//1.选出左右孩子中小的那一个int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小while (child < size){//当右孩子存在且右孩子小于左孩子if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child])//大堆：a[child+1]>a[child]{++child;//则将右孩子置为child}//2.小的孩子跟父亲比较，如果比父亲小，则交换，然后继续往下调整；如果比父亲大，则调整结束if (a[child] > a[parent])//大堆：a[child]>a[parent]{//交换数据Swap(&a[child], &a[parent]);//3.继续往下调，最多调整到叶子结点就结束//把孩子的下标赋值给父亲parent = child;//假设左孩子最小child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void HeapSort(int* a, int n)
{//建堆//建堆方式二：向下调整//向下调整算法的左右子树必须是堆，因此不能使用该方法直接建堆//时间复杂度：O(N)//首先将数组中的元素以完全二叉树的形式排列好，然后从倒数第一个非叶子结点开始，依次向下调整for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//n-1为最后一个结点的下标，求最后一个结点的父结点的下标(n-1-1)/2{AdjustDown(a, n, i);}
}int main()
{int a[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));return 0;
}

调试分析：

建堆前：                                                                      

建堆后：

步骤二：排序

这里用到堆的删除思想。先交换数组的首尾元素，此时尾结点中的元素为堆中的最大值。然后将堆的最后一个元素排除在外，并继续从根结点开始，对堆进行向下调整。重复上述操作，直到堆中仅剩一个元素为止。

实现：

//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{//1.选出左右孩子中小的那一个int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小while (child < size){//当右孩子存在且右孩子小于左孩子if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child])//大堆：a[child+1]>a[child]{++child;//则将右孩子置为child}//2.小的孩子跟父亲比较，如果比父亲小，则交换，然后继续往下调整；如果比父亲大，则调整结束if (a[child] > a[parent])//大堆：a[child]>a[parent]{//交换数据Swap(&a[child], &a[parent]);//3.继续往下调，最多调整到叶子结点就结束//把孩子的下标赋值给父亲parent = child;//假设左孩子最小child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void HeapSort(int* a, int n)
{//建堆//建堆方式二：向下调整//向下调整算法的左右子树必须是堆，因此不能使用该方法直接建堆//时间复杂度：O(N)//首先将数组中的元素以完全二叉树的形式排列好，然后从倒数第一个非叶子结点开始，依次向下调整for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//n-1为最后一个结点的下标，求最后一个结点的父结点的下标(n-1-1)/2{AdjustDown(a, n, i);}//排序//时间复杂度：O(N*logN)，其中N为元素个数，logN为向上调整的次数，也即树的高度int end = n - 1;while (end > 0){//将第一个结点与最后一个结点交换Swap(&a[0], &a[end]);//向下调整选出次大的数AdjustDown(a, end, 0);--end;}
}int main()
{int a[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));return 0;
}

调试分析：

排序前：

排序后：

小结：

建堆和堆的删除都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成排序。

建堆的时间复杂度为：O(N)，排序的时间复杂度为：O(N*logN)。取影响结果较大的一个，也就是O(N*logN)。所以堆排序的时间复杂度为O(N*logN)。

4.2.TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
对于TOP-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。

法一：

堆排序，采用时间复杂度最低的堆排序，时间复杂度为O(N*logN)；

法二：

首先建立N个数的大根堆，然后Top/Pop k次，时间复杂度为O(N+k*logN)；

注意：上述两种方法在数据量非常大时，是不太可取的。

法三：

假设N非常大，比如N是100亿，而K比较小，假如k是100，如何求解？

首先，将数据集合中前k个数建立小根堆，时间复杂度：O(k)；
然后，将剩下的N-k个元素依次和堆顶元素进行比较，如果比堆顶元素大，就替换堆顶元素，并进行向下调整；
待N-k个元素依次和堆顶元素比较完之后，堆中剩余的k个元素就是所求的最大的前k个元素，时间复杂度：O((N-k)*logk)。

注意：法三较于前两种方法有很高的空间效率。

实现：

//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{//1.选出左右孩子中小的那一个int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小while (child < size){//当右孩子存在且右孩子小于左孩子if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])//大堆：a[child+1]>a[child]{++child;//则将右孩子置为child}//2.小的孩子跟父亲比较，如果比父亲小，则交换，然后继续往下调整；如果比父亲大，则调整结束if (a[child] < a[parent])//大堆：a[child]>a[parent]{//交换数据Swap(&a[child], &a[parent]);//3.继续往下调，最多调整到叶子结点就结束//把孩子的下标赋值给父亲parent = child;//假设左孩子最小child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{//1.建堆：用a中前k个元素建堆int* kMinHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);assert(kMinHeap);for (int i = 0; i < k; i++){//将a中前k的元素放进kMinHeap中kMinHeap[i] = a[i];}//建立小根堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(kMinHeap, k, i);}//2.将剩余的n-k个元素依次与堆顶元素比较，不满则替换for (int j = k; j < n; j++){//若后面的元素大于堆顶元素，则进行替换，并向下调整if (a[j] > kMinHeap[0]){kMinHeap[0] = a[j];AdjustDown(kMinHeap, k, 0);}}//3.打印最大的前k个元素for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", kMinHeap[i]);}printf("\n");//销毁free(kMinHeap);
}void TestTopk()
{int n = 10000;int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);assert(a);srand((size_t)time(0));for (int i = 0; i < n; i++){//产生一万个不大于100万的随机数a[i] = rand() % 1000000;}a[5] = 1000000 + 1;a[1231] = 1000000 + 2;a[531] = 1000000 + 3;a[5121] = 1000000 + 4;a[115] = 1000000 + 5;a[2335] = 1000000 + 6;a[9999] = 1000000 + 7;a[76] = 1000000 + 8;a[423] = 1000000 + 9;a[3144] = 1000000 + 10;PrintTopK(a, n, 10);
}int main()
{TestTopk();return 0;
}

运行结果：