【1237. 找出给定方程的正整数解】

来源：力扣（LeetCode）

描述：

给你一个函数 f(x, y) 和一个目标结果 z，函数公式未知，请你计算方程 f(x,y) == z 所有可能的正整数 数对 x 和 y。满足条件的结果数对可以按任意顺序返回。

尽管函数的具体式子未知，但它是单调递增函数，也就是说：

• f(x, y) < f(x + 1, y)
• f(x, y) < f(x, y + 1)

函数接口定义如下：

interface CustomFunction {
public:// Returns some positive integer f(x, y) for two positive integers x and y based on a formula.int f(int x, int y);
};

你的解决方案将按如下规则进行评判：

• 判题程序有一个由 CustomFunction 的 9 种实现组成的列表，以及一种为特定的 z 生成所有有效数对的答案的方法。
• 判题程序接受两个输入：function_id（决定使用哪种实现测试你的代码）以及目标结果 z 。
• 判题程序将会调用你实现的 findSolution 并将你的结果与答案进行比较。
• 如果你的结果与答案相符，那么解决方案将被视作正确答案，即 Accepted 。

示例 1：

输入：function_id = 1, z = 5
输出：[[1,4],[2,3],[3,2],[4,1]]
解释：function_id = 1 暗含的函数式子为 f(x, y) = x + y
以下 x 和 y 满足 f(x, y) 等于 5：
x=1, y=4 -> f(1, 4) = 1 + 4 = 5
x=2, y=3 -> f(2, 3) = 2 + 3 = 5
x=3, y=2 -> f(3, 2) = 3 + 2 = 5
x=4, y=1 -> f(4, 1) = 4 + 1 = 5

示例 2：

输入：function_id = 2, z = 5
输出：[[1,5],[5,1]]
解释：function_id = 2 暗含的函数式子为 f(x, y) = x * y
以下 x 和 y 满足 f(x, y) 等于 5：
x=1, y=5 -> f(1, 5) = 1 * 5 = 5
x=5, y=1 -> f(5, 1) = 5 * 1 = 5

提示：

• 1 <= function_id <= 9
• 1 <= z <= 100
• 题目保证 f(x, y) == z 的解处于 1 <= x, y <= 1000 的范围内。
• 在 1 <= x, y <= 1000 的前提下，题目保证 f(x, y) 是一个 32 位有符号整数。

方法一：枚举

根据题目给出的 x 和 y 的取值范围，枚举所有的 x, y 数对，保存满足 f(x, y) = z 的数对，最后返回结果。

代码：

class Solution {
public:vector<vector<int>> findSolution(CustomFunction& customfunction, int z) {vector<vector<int>> res;for (int x = 1; x <= 1000; x++) {for (int y = 1; y <= 1000; y++) {if (customfunction.f(x, y) == z) {res.push_back({x, y});}}}return res;}
};

执行用时：124 ms, 在所有 C++ 提交中击败了13.98%的用户
内存消耗：6.2 MB, 在所有 C++ 提交中击败了80.64%的用户
复杂度分析
时间复杂度：O(mn)，其中 m 是 x 的取值数目，n 是 y 的取值数目。
空间复杂度：O(1)。返回值不计入空间复杂度。

方法二：二分查找

我们固定 x = x₀​ 时，函数 g(y) = f(x₀, y) 是单调递增函数，可以通过二分查找来判断是否存在 y = y₀ ，使 g(y₀) = f(x₀, y₀) = z 成立。

代码：

class Solution {
public:vector<vector<int>> findSolution(CustomFunction& customfunction, int z) {vector<vector<int>> res;for (int x = 1; x <= 1000; x++) {int yleft = 1, yright = 1000;while (yleft <= yright) {int ymiddle = (yleft + yright) / 2;if (customfunction.f(x, ymiddle) == z) {res.push_back({x, ymiddle});break;}if (customfunction.f(x, ymiddle) > z) {yright = ymiddle - 1;} else {yleft = ymiddle + 1;}}}return res;}
};

执行用时：4 ms, 在所有 C++ 提交中击败了51.61%的用户
内存消耗：6.1 MB, 在所有 C++ 提交中击败了96.77%的用户
复杂度分析
时间复杂度：O(mlogn)，其中 m 是 x 的取值数目，n 是 y 的取值数目。
空间复杂度：O(1)。返回值不计入空间复杂度。

方法三：双指针

假设 x₁ < x₂，且 f(x₁, y₁) = f(x₂, y₂) = z，显然有 y₁ > y₂。因此我们从小到大进行枚举 x，并且从大到小枚举 y，当固定 x 时，不需要重头开始枚举所有的 y，只需要从上次结束的值开始枚举即可。

代码：

class Solution {
public:vector<vector<int>> findSolution(CustomFunction& customfunction, int z) {vector<vector<int>> res;for (int x = 1, y = 1000; x <= 1000 && y >= 1; x++) {while (y >= 1 && customfunction.f(x, y) > z) {y--;}if (y >= 1 && customfunction.f(x, y) == z) {res.push_back({x, y});}}return res;}
};

执行用时：4 ms, 在所有 C++ 提交中击败了51.61%的用户
内存消耗：6.3 MB, 在所有 C++ 提交中击败了17.20%的用户
复杂度分析
时间复杂度：O(m+n)，其中 m 是 x 的取值数目，n 是 y 的取值数目。
空间复杂度：O(1)。返回值不计入空间复杂度。
author：LeetCode-Solution