数论 —— 高斯记号（Gauss mark）

定义

数学上，高斯记号（Gauss mark）是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域。

• 设 $x\in \text{R}$，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。也可记作 $[x]$。
• 设 $x\in \text{R}$，用 {x}\{x\}{x} 表示 $x$ 的非负纯小数，即 {x}=x－[x]\{x\}=x－[x]{x}=x－[x]。

例如

• [1]=1
• [0]=0
• [-1]=-1
• [-1.2]=-2
• {1.5}=0.5
• {-1.5}=0.5
• {-1.2}=0.8

性质

• 对于任意实数 x，x=[x]+{x}
• x-1<[x]≤x<[x]+1
• [n+x]=n+[x]，n 为整数
• [x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1

例题

解方程 x+2{x}=3[x]x+2\{x\}=3[x]x+2{x}=3[x]

思路

使用定义 x=[x]+{x}

解题

根据定义 x=[x]+{x}，带入原方程变为 [x]+3{x}=3[x]
2[x]=3{x}
∵0≤{x}<1\because 0≤\{x\}<1∵0≤{x}<1
∴0≤3{x}<3\therefore 0≤3\{x\}<3∴0≤3{x}<3
$\because [x]$ 一定是一个整数。
∴3{x}=0,1,2\therefore 3\{x\}=0,1,2∴3{x}=0,1,2
$\because 2[x]$ 一定是一个偶数。
∴3{x}=0,2\therefore 3\{x\}=0,2∴3{x}=0,2
带入原式进行讨论。

• 当 3{x}=03\{x\}=03{x}=0 的时候，{x}=0\{x\}=0{x}=0，对应 $[x]=0$，即 $x=0$。
• 当 3{x}=23\{x\}=23{x}=2 的时候，{x}=23\{x\}=\frac{2}{3}{x}=32​，对应 $[x]=1$，即 $x=\frac{5}{3}$。

解方程 [x]{x}+x=2{x}+10[x]\{x\}+x=2\{x\}+10[x]{x}+x=2{x}+10

思路

根据性质，可得 0≤{x}<10≤\{x\}<10≤{x}<1。
我们可以将方程变成 {x}=...\{x\}=...{x}=... 形式。

解题

根据定义 x=[x]+{x}，带入原方程变为 [x]{x}+[x]+{x}=2{x}+10
合并同类项
[x]{x}-{x}=10-[x]
{x}([x]-1)=10-[x]
{x}=10−[x][x]−1\{x\} = \frac{10-[x]}{[x]-1}{x}=[x]−110−[x]​
∵0≤{x}<1\because 0≤\{x\}<1∵0≤{x}<1
$\therefore 0\le \frac{10-[x]}{[x]-1}<1$
由于分子分母都含有 $[x]$，因此需要对分母进行配方。
$\frac{10-[x]}{[x]-1}=\frac{9+1-[x]}{[x]-1}=\frac{9-([x]-1)}{[x]-1}$
$0\le \frac{9-([x]-1)}{[x]-1}<1$
$0\le \frac{9}{[x]-1}-1<1$
$1\le \frac{9}{[x]-1}<2$
$1\ge \frac{[x]-1}{9}>\frac{1}{2}$
$9\ge [x]-1>4.5$
$10\ge [x]>5.5$
$\therefore [x]=6,7,8,9,10$
带入原式进行讨论。

• 当 $[x]=6$ 时候，原方程为 $x=\frac{10-6}{6-1}=\frac{4}{5}$，即 $x=6.8$。
• 当 $[x]=7$ 时候，原方程为 $x=(10-7)/(7-1)=3/6$，即 $x=7.5$。
• 当 $[x]=8$ 时候，原方程为 $x=(10-8)/(8-1)=2/7$，即 $x=8+2/7$。
• 当 $[x]=9$ 时候，原方程为 $x=(10-9)/(9-1)=1/8$，即 $x=9.125$。
• 当 $[x]=10$ 时候，原方程为 $x=(10-10)/(10-1)=0$，即 $x=10$。

关于 x 的方程 $[\frac{x}{2}]+[\frac{x}{3}]=k$ 无解的自然数 k 排成一行，其前 2018 个 k 值之和等于多少？

思路

看到 $\frac{x}{2}$ 和 $\frac{x}{3}$，自然想到了周期问题。

解题

$2$ 和 $3$ 的最小公倍数为 $2\times 3=6$。因此对周期 $6$ 进行枚举。
为了让大家更容易看出周期问题的套路，我们对 $0\sim 11$ 进行枚举。

x	0	1	2	3	4	5
$k=[\frac{x}{2}]+[\frac{x}{3}]$	0	0	1	2	3	3
x	6	7	8	9	10	11
$k=[\frac{x}{2}]+[\frac{x}{3}]$	5	5	6	7	8	8

如上图。

• $x=0$ 与 $x=6$ 是同周期的。
• $x=1$ 与 $x=7$ 是同周期的。
• $...$
• $x=5$ 与 $x=11$ 是同周期的。

这样，我们可以轻易发现周期的规律。

• $k=5\times n+r,r\in [0,1,2,3]$ 方程有解。
• $k=5\times n+r,r\in [4]$ 方程无解。

这样，我们可以构造出所有解的序列为 $k=5\times n+4,n\in [0,1,2,...]$。

这样前 $2018$ 个 $k$ 序列即为 $4,9,14,...,5\times 2017+4=10,089$。

本题答案即为 $\sum S=4+9+14+...+10089$。

根据等差数列求和公式可得，首项为 $4$，公差为 $d=5$，项数为 $2018$。

$\sum S=4\times 2018+\frac{2018\times 2017\times 5}{2}=10,183,837$