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数论 —— 高斯记号（Gauss mark）

news 2025/7/5 11:01:54

定义

数学上，高斯记号（Gauss mark）是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域。

设 $\in \textbf{R}$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。也可记作 $[x]$ 。
设 $\in \textbf{R}$ ，用 ${x\}$ 表示 $x$ 的非负纯小数，即 ${x\}=x－[x]$ 。

例如

[1]=1
[0]=0
[-1]=-1
[-1.2]=-2
{1.5}=0.5
{-1.5}=0.5
{-1.2}=0.8

性质

对于任意实数 x，x=[x]+{x}
x-1<[x]≤x<[x]+1
[n+x]=n+[x]，n 为整数
[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1

例题

解方程 $x+2\{x\}=3[x]$

思路

使用定义 x=[x]+{x}

解题

根据定义 x=[x]+{x}，带入原方程变为 [x]+3{x}=3[x]
2[x]=3{x}
$∵0≤{x}<1\because 0≤\{x\}<1$
$∴0≤3{x}<3\therefore 0≤3\{x\}<3$
$∵[x]\because [x]$ 一定是一个整数。
$∴3{x}=0,1,2\therefore 3\{x\}=0,1,2$
$∵2[x]\because 2[x]$ 一定是一个偶数。
$∴3{x}=0,2\therefore 3\{x\}=0,2$
带入原式进行讨论。

当 $3\{x\}=0$ 的时候， ${x\}=0$ ，对应 $[x] = 0$ ，即 $x = 0$ 。
当 $3\{x\}=2$ 的时候， ${x}=23\{x\}=\frac{2}{3}$ ，对应 $[x] = 1$ ，即 $x=53x=\frac{5}{3}$ 。

解方程 $x]\{x\}+x=2\{x\}+10$

思路

根据性质，可得 $0≤\{x\}<1$ 。
我们可以将方程变成 ${x\}=...$ 形式。

解题

根据定义 x=[x]+{x}，带入原方程变为 [x]{x}+[x]+{x}=2{x}+10
合并同类项
[x]{x}-{x}=10-[x]
{x}([x]-1)=10-[x]
${x}=10−[x][x]−1\{x\} = \frac{10-[x]}{[x]-1}$
$∵0≤{x}<1\because 0≤\{x\}<1$
$∴0≤10−[x][x]−1<1\therefore 0≤\frac{10-[x]}{[x]-1}<1$
由于分子分母都含有 $[x]$ ，因此需要对分母进行配方。
$10−[x][x]−1=9+1−[x][x]−1=9−([x]−1)[x]−1\frac{10-[x]}{[x]-1}=\frac{9+1-[x]}{[x]-1}=\frac{9-([x]-1)}{[x]-1}$
$0≤9−([x]−1)[x]−1<10≤\frac{9-([x]-1)}{[x]-1}<1$
$0≤9[x]−1−1<10≤\frac{9}{[x]-1}-1<1$
$1≤9[x]−1<21≤\frac{9}{[x]-1}<2$
$1≥[x]−19>121\ge \frac{[x]-1}{9}>\frac{1}{2}$
$\ge [x]-1 > 4.5$
$\ge [x] > 5.5$
$∴[x]=6,7,8,9,10\therefore [x]=6,7,8,9,10$
带入原式进行讨论。

当 $[x] = 6$ 时候，原方程为 $x=10−66−1=45{x}=\frac{10-6}{6-1}=\frac{4}{5}$ ，即 $x = 6.8$ 。
当 $[x] = 7$ 时候，原方程为 ${x}=(10-7)/(7-1)=3/6$ ，即 $x = 7.5$ 。
当 $[x] = 8$ 时候，原方程为 ${x}=(10-8)/(8-1)=2/7$ ，即 $x = 8 + 2/7$ 。
当 $[x] = 9$ 时候，原方程为 ${x}=(10-9)/(9-1)=1/8$ ，即 $x = 9.125$ 。
当 $[x] = 10$ 时候，原方程为 ${x}=(10-10)/(10-1)=0$ ，即 $x = 10$ 。

关于 x 的方程 $[x2]+[x3]=k[\frac{x}{2}]+[\frac{x}{3}]=k$ 无解的自然数 k 排成一行，其前 2018 个 k 值之和等于多少？

思路

看到 $x2\frac{x}{2}$ 和 $x3\frac{x}{3}$ ，自然想到了周期问题。

解题

$2$ 和 $3$ 的最小公倍数为 $\times 3=6$ 。因此对周期 $6$ 进行枚举。
为了让大家更容易看出周期问题的套路，我们对 $\sim 11$ 进行枚举。

x	0	1	2	3	4	5
$k=[x2]+[x3]k=[\frac{x}{2}]+[\frac{x}{3}]$	0	0	1	2	3	3
x	6	7	8	9	10	11
$k=[x2]+[x3]k=[\frac{x}{2}]+[\frac{x}{3}]$	5	5	6	7	8	8

如上图。

$x = 0$ 与 $x = 6$ 是同周期的。
$x = 1$ 与 $x = 7$ 是同周期的。
$...$
$x = 5$ 与 $x = 11$ 是同周期的。

这样，我们可以轻易发现周期的规律。

$k=5×n+r,r∈[0,1,2,3]k=5\times n+r,\ r \in [0,1,2,3]$ 方程有解。
$k=5×n+r,r∈[4]k=5\times n+r,\ r \in [4]$ 方程无解。

这样，我们可以构造出所有解的序列为 $\times n+4,\ n \in [0,1,2,...]$ 。

这样前 $2018$ 个 $k$ 序列即为 $\times 2017+4=10,089$ 。

本题答案即为 $∑S=4+9+14+...+10089\sum S=4+9+14+...+10089$ 。

根据等差数列求和公式可得，首项为 $4$ ，公差为 $d = 5$ ，项数为 $2018$ 。

$∑S=4×2018+2018×2017×52=10,183,837\sum S=4 \times 2018+\frac{2018 \times 2017 \times 5}{2}=10,183,837$

定义

例如

性质

例题

解方程 x+2{x}=3[x]x+2\{x\}=3[x]x+2{x}=3[x]

思路

解题

解方程 [x]{x}+x=2{x}+10[x]\{x\}+x=2\{x\}+10[x]{x}+x=2{x}+10

思路

解题

关于 x 的方程 [x2]+[x3]=k[\frac{x}{2}]+[\frac{x}{3}]=k[2x​]+[3x​]=k 无解的自然数 k 排成一行，其前 2018 个 k 值之和等于多少？

思路

解题

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