一个概率论例题引发的思考

浙江大学版《概率论与梳理统计》一书中的，第13章第1节例2如下：

这个解释和模型比较简单易懂。接下来，第2节的例2是一个关于此模型的题目：

在我自己的理解中，此题的解法跟上一个题目一样，第二级传输后，一共有4中可能性，按照平均概率相加即可。

$$\left\{\begin{array}{cc}{p}^n& q^n\\ q^n& p^n\end{array}\right\}$$

然而，仔细考虑之后发现不妥。因为最后结果的概率，这样计算不太合适，但是又没有发现更合理的理论和方法，又看到这一节的如下论述：

似乎抓到了什么，但是又特别模糊。

再看以下C-K方程：

因此，参考此文：https://blog.csdn.net/m0_37567738/article/details/132182007?spm=1001.2014.3001.5502可以得出结论，此种题目的解题方法还是要回到马尔可夫概率转移矩阵中去找答案。

我觉得要理解此题目的底层逻辑，还需要了解以下公式：

P { X n = a n } = ∑ i = 1 + ∞ P { X n = a n , X 0 = a i } = ∑ i = 1 + ∞ P { X n = a n ∣ X 0 = a i } P { X 0 = a i } = ∑ i = 1 + ∞ P i ( 0 ) P i j ( n ) = ∑ i = 1 + ∞ P i 1 ( 1 ) P i j ( n − 1 ) = ∑ i = 1 + ∞ P 2 i ( 2 ) P i j ( n − 2 ) = ∑ i = 1 + ∞ P 3 i ( 3 ) P i j ( n − 3 ) = . . . . . . P \{X_n = a_n\} = \sum_{i = 1}^{+\infty} P\{ X_n = a_n, X_0 = a_i \} = \\ \sum_{i = 1}^{+\infty} P\{ X_n = a_n|X_0 = a_i \} P\{ X_0 = a_i \}=\sum_{i=1}^{+\infty} P_i(0) P_{ij}(n) = \\ \sum_{i=1}^{+\infty} P_{i1}(1) P_{ij}(n-1)= \sum_{i=1}^{+\infty} P_{2i}(2) P_{ij}(n-2) = \sum_{i=1}^{+\infty} P_{3i}(3) P_{ij}(n-3) = ...... \\ P{Xn​=an​}=i=1∑+∞​P{Xn​=an​,X0​=ai​}=i=1∑+∞​P{Xn​=an​∣X0​=ai​}P{X0​=ai​}=i=1∑+∞​Pi​(0)Pij​(n)=i=1∑+∞​Pi1​(1)Pij​(n−1)=i=1∑+∞​P2i​(2)Pij​(n−2)=i=1∑+∞​P3i​(3)Pij​(n−3)=......

这个逻辑的本质区别就在于，它是利用后验概率去推算先验概率的，这是一种理论上的优越性。

我们想要求解的概率P，它依赖于其概率矩阵的乘法运算，而不是说简单把4种转换相加。