第五十七章 树状数组（二）

一、差分的缺陷

差分的作用是能够在O(1)的时间内给一段区间加上相同的数字，最终查询的时候， 只需要对差分数组求前缀和即可。
但是，如果我们修改一次就想查询一次某个点的值的话。就说明我们需要不断地去求前缀和，即我们每次查询的时间复杂度都是$O(n)$的。这个是非常低效的。

因此，我们就可以利用树状数组来进行优化求解。

二、树状数组与差分

作者在之前的文章中介绍过树状数组与前缀和的关系，没有看过的话，作者建议先去看之前的文章：第五十六章 树状数组（一）

在前缀和+树状数组的题目中，我们是将原数组包装成了树状数组。

而在差分+树状数组的题目中，我们需要将原数组的差分数组写作树状数组的形式。

这样的话，如果给原数组[l,r]内的元素加上一个x的话，我们只需要操作差分数组中的两个点即可。这就又转化为我们在之前的文章中介绍的树状数组的三个函数。

三、例题

洛谷：P3368 【模板】树状数组 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1. 将某区间每一个数加上 $x$；

2. 求出某一个数的值。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$、$M$，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 $N$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i $ 项的初始值。

接下来 $M$ 行每行包含 $2$ 或 $4$个整数，表示一个操作，具体如下：

操作 $1$： 格式：1 x y k 含义：将区间 $[x,y]$ 内每个数加上 $k$；

操作 $2$： 格式：2 x 含义：输出第 $x$ 个数的值。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $2$ 的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4

样例输出 #1

6
10

提示

样例 1 解释：

故输出结果为 6、10。

---

数据规模与约定

对于 $30\%$ 的数据：$N\le 8$，$M\le 10$；

对于 $70\%$ 的数据：$N\le 10000$，$M\le 10000$；

对于 $100\%$ 的数据：$1\le N,M\le 500000$，$1\le x,y\le n$，保证任意时刻序列中任意元素的绝对值都不大于 $2^{30}$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e5 + 10;
int a[N], b[N], tree[N];
int n, m;int lowbits(int x)
{return x & -x;
}void add(int pos, int x)
{for(int i = pos; i <= n; i += lowbits(i))tree[i] += x;
}int quary(int pos)
{int res = 0;for(int i = pos; i; i -= lowbits(i))res += tree[i];return res;
}void solve()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ )cin >> a[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ ){b[i] = a[i] - a[i - 1];add(i, b[i]);}while(m -- ){int op;cin >> op;if(op == 1){int l, r, d;cin >> l >> r >> d;add(l, d);add(r + 1, -d);}else{int pos;cin >> pos;cout << quary(pos) << endl;}}}int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);solve();
}