算法导论【字符串匹配】—朴素算法、Rabin-Karp、有限自动机、KMP

朴素字符串匹配算法

• 预处理时间：0
• 匹配时间：O((n-m+1)m)
  
  
  

Rabin-Karp算法

• 预处理时间：Θ(m)，需要预先算出匹配串的哈希值
• 匹配时间：O((n−m+1)m)，匹配过程与朴素算法类似，但是不需要逐个比对，先比对哈希值，这样可以减少字符匹配次数，计算待匹配的m个字符的哈希值，采用特定方法可以只要常数时间
• Rabin-Karp算法的预处理时间为$\Theta (m)$，在最坏情况下，运行时间为$\Theta ((n-m+1)m)$
• Rabin-Karp算法比较字符串的哈希值，而不是字符串本身。为了提高效率，可以从当前位置的哈希值轻松计算文本中下一个位置的哈希
• 简单说就是：每次计算m个字符的字符串的哈希值，然后与匹配串的哈希值对比，如果不相等那这两个字符串肯定不一样，如果哈希值相等，那么再逐个匹配字符，这样可以减少不必要的匹配
• 如果哈希值不相等，算法将计算下一个M字符序列的哈希值。如果哈希值相等，算法将比较模式和M字符序列。这样，每个文本子序列只有一个比较，只有当哈希值匹配时才需要字符匹配
• Rabin Karp算法的预处理阶段包括计算哈希$Hash(P)$。它可以在恒定的空间和$O(m)$时间内完成。
• 在搜索阶段，将哈希$Hash(P)$与哈希$Hash(T[j..j+m-1])$比较就足够了。如果找到了一个等式，仍然需要逐个字符检查等式$P=T[j..j+m-1]$。
• Rabin Karp算法的时间复杂度为$\Theta ((n-m+1)m)=\Theta (mn)$(例如，当在n中搜索m时)。当有效点很小时，例如$O(1)$，其预期的文本字符比较数为$O(n+m)=O(n)$。
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有限自动机

• 预处理时间：O(|mΣ|)，|Σ|为待匹配串的字母表大小
• 匹配时间：Θ(n)，预处理完后只需要扫描一遍字符串即可找到匹配串
  
  

KMP算法

• 预处理时间：Θ(m)

• 匹配时间：Θ(n)

• 关键在于计算出前缀$\pi$数组，$\pi$就是文本串中在该位置能够得到最长的前后缀长度，举个例子：
  

• 预处理过程：- 匹配过程：