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线性代数(二) 矩阵及其运算

前言

行列式det(A) 其实表示的只是一个值 ∣ a b c d ∣ = a d − b c \begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad -bc acbd =adbc,其基本变化是基于这个值是不变。而矩阵表示的是一个数表。

定义

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矩阵与线性变换的关系在这里插入图片描述在这里插入图片描述
即得
( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) ( x 1 x 2 . . . x n ) = ( y 1 y 2 . . . y n ) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{m1} & a_{m2} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\...\\y_n\end{pmatrix} a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n....amn x1x2...xn = y1y2...yn
可以推矩阵乘法
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即得中的 y 1 = c 11 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x m y_1=c_{11}=a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_m y1=c11=a11x1+a12x2+...+a1nxm

矩阵乘法的提前: 第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同

同理可得矩阵加法
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特殊的矩阵

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矩阵的初等变换

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行和列的关系
( x 1 x 2 . . . x n ) ( a 11 a 21 . . . a m 1 a 12 a 22 . . . a m 2 . . . . . . . . . . . . . a 1 n a 2 n . . . a m n ) = ( y 1 y 2 . . y n ) \begin{pmatrix} x_1&x_2&...&x_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & ...& a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & ...& a_{m2}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{1n} & a_{2n} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1&y_2&..&y_n\end{pmatrix} (x1x2...xn) a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2....amn =(y1y2..yn)

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初等变换与矩阵乘法的关系

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E m ( i , j ) = ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 j 行 0 0 0 . . . 0 1 ) m 的 i 行与 j 行对调 ( 1 0 . . . 0 0 0 0 . . . 1 i 行 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 j 行 . . . 0 0 0 0 . . . 0 1 ) m E_m(i,j)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m 的 i行与j行对调 \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 0 & ...& 1_{i行}& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 1_{j行} & ...& 0& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m Em(i,j)= 10...0001i...00...............00....1j000....01 mi行与j行对调 10...0000...1j0...............01i....0000....01 m
E m ( i ( k ) ) = ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1 ) m 的 i 行乘于常数 k ( 1 0 . . . 0 0 0 k i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1 ) m E_m(i(k))=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m 的 i行乘于常数k \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & k_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m Em(i(k))= 10...0001i...00...............00....1000....01 mi行乘于常数k 10...000ki...00...............00....1000....01 m
E m ( i j ( k ) ) = ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 j 行 0 0 0 . . . 0 1 ) m i 行的 k 倍加到 j 上 ( 1 0 . . . 0 0 0 1 i 行 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 k j 行 . . . 1 j 行 0 0 0 . . . 0 1 ) m E_m(ij(k))=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m i行的k倍加到j上 \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & k_{j行} & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m Em(ij(k))= 10...0001i...00...............00....1j000....01 mi行的k倍加到j 10...0001i...kj0...............00....1j000....01 m
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矩阵的运算

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矩阵乘法运算规律

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矩阵的转置

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A n ∗ m ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) 转置为 A n ∗ m T ( a 11 a 21 . . . a m 1 a 12 a 22 . . . a m 2 . . . . . . . . . . . . . a 1 n a 2 n . . . a m n ) A_{n*m} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{m1} & a_{m2} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} 转置为 A_{n*m}^T \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & ...& a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & ...& a_{m2}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{1n} & a_{2n} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} Anm a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n....amn 转置为AnmT a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2....amn

例如:矩阵 B = ( 1 2 3 4 5 6 ) B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix} B=(142536)的转置矩阵就是 B T = ( 1 4 2 5 3 6 ) B^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6\end{pmatrix} BT= 123456

反对称矩阵

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方阵的行列式

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伴随矩阵

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根据行列式和矩阵乘法的公式刚好得出 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^*=|A|E AA=AE

可逆矩阵(或称非奇异矩阵)

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结合伴随矩阵的公式
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  1. 根据 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^*=|A|E AA=AE
  2. 结合行列式公式 ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|=|A||B| AB=A∣∣B
  3. 得出 ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ |A||A*|=|A| A∣∣A=A
  4. 得出 ∣ A ∗ ∣ = 1 |A^*|=1 A=1
  5. 所以 ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ |A^{-1}|=\cfrac{1}{|A|} A1=A1

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共轭矩阵

  1. a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。
  2. 共轭复数,两个实部相等,虚部互为相反数的复数,即 a-bi

举例:在这里插入图片描述
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分块矩阵

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上述指将矩阵按行或者列分块在这里插入图片描述

分块矩阵的其它性质

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利用初等变化转为对角矩阵,方便计算

克拉默法则证明

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  1. 把方程组写成矩阵方程 Ax = b, 这里 A = ( a i j ) n ∗ n A=(a_{ij})_{n*n} A=(aij)nn为 n 阶矩阵
  2. 因 |A| ≠ 0,故 A − 1 A^{-1} A1存在。令 x = A − 1 b ⇒ A x = A A − 1 b x=A^{-1}b \Rightarrow Ax=AA^{-1}b x=A1bAx=AA1b,表明 x = A − 1 b x=A^{-1}b x=A1b是方程组的解向量。
  3. 由于逆矩阵公式 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}A^* A1=A1A,有 x = 1 ∣ A ∣ A ∗ b x=\cfrac{1}{|A|}A^*b x=A1Ab
  4. 在这里插入图片描述
  5. x j = 1 ∣ A ∣ ( b 1 A 1 j + b 2 A 2 j + . . . + b n A n j ) x_j=\cfrac{1}{|A|}(b_1A_{1j} + b_2A_{2j}+...+b_nA_{nj}) xj=A1(b1A1j+b2A2j+...+bnAnj)
  6. x j = 1 ∣ A ∣ ∣ A j ∣ ( j = 1 , 2 , 3 , . . . n ) x_j=\cfrac{1}{|A|}|A_j| (j=1,2,3,...n) xj=A1Aj(j=1,2,3,...n)

分块矩阵乘法证明

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我们通过验证分块矩阵乘法得到的元素与通用乘法得到元素是否一致,来证明分块乘法的可靠性,以 c 32 c_{32} c32为例:
c 32 = ( a 31 a 32 a 33 ) ( b 12 b 22 b 32 ) c_{32}= \begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{12} \\b_{22} \\b_{32} \end{pmatrix} c32=(a31a32a33) b12b22b32
与他对应是 C 11 = A 11 B 11 + A 12 B 21 C_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} C11=A11B11+A12B21中的 c 32 c_{32} c32
c 32 = ( a 31 a 32 ) ( b 12 b 22 ) + ( a 33 ) ( b 32 ) c_{32}= \begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{12} \\b_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{32} \end{pmatrix} c32=(a31a32)(b12b22)+(a33)(b32)

主要参考

《矩阵的转置》
《克拉默法则》
《共轭矩阵》
《分块矩阵的初等变换(3)行列式不变吗?》
《矩阵分块乘法的原理是怎么样的?》

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