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Lie group 专题：Lie 群

news 2025/12/19 0:32:35
  • Lie group 专题：Lie 群

流形

流形的定义

  • 一个m维流形是满足以下条件的集合M：存在可数多个称为坐标卡（图集）的子集合族U_\alpha \subset M.以及映到R^m的连通开子集V_\alpha上的一对一映射，\varphi_\alpha:U_\alpha\rightarrow V_\alpha,\varphi_\alpha称为局部坐标映射，满足以下条件
    • 坐标卡覆盖M
    • 若U_\alpha \bigcap U_\beta \neq \phi,则\varphi_\beta\cdot\varphi_\alpha^{-1}:\varphi_{\alpha}(U_\alpha \bigcap U_\beta)\rightarrow \varphi_{\beta}(U_\alpha \bigcap U_\beta)是光滑函数（无限可导）
    • Hausdorff 分离性质：若x\in U_\alpha,\bar{x}\in U_\beta是M中的两个不同点，则存在开子集W\subset V_\alpha,\bar{W}\subset V_\beta,\varphi_\alpha(x)\in V_\alpha,\varphi_\beta(\bar{x})\in V_\beta使得\varphi_\alpha^{-1}(W)\bigcap \varphi_\beta^{-1}(\bar{W})=\phi

光滑映射

  • 设M 和 N是两个光滑流形，F:M\rightarrow N是一个映射，如果F在每个坐标卡上的局部坐标表示都是光滑的，则称F是光滑映射，即对M上的每个坐标卡\varphi_\alpha:U_\alpha \rightarrow V_\alpha \subset R^m和 N 上的每个坐标卡\bar{\varphi}_\beta:\bar{U}_\beta\rightarrow \bar{V}_\beta \subset R^n，复合映射\bar{\varphi}_\beta\cdot F\cdot \varphi_\alpha^{-1}:R^m\rightarrow R^n在\varphi_\alpha[U_\alpha\bigcap F^{-1}(\bar{\varphi}_\beta)]上是光滑的

最大秩条件

  • F:M\rightarrow N是从m维流形到n维流形的光滑映射，F在x\in M的秩就是n \times m Jacobi矩阵在x的秩。如果对于子集S \subsset M 中的每点，F 的秩都等于m 和 n中最小者，则称F 在S上有最大值

子流形

  • 设M是光滑流形，N是M的子集，如果存在流形\bar{N} 和 光滑流形一一映射\bar{N}\rightarrow N\subset M，处处满足最大秩条件，则称N 是 M的子流形，\bar{N}叫做参数空间，并且N=\varphi(\bar{N})
    • 映射N=\varphi(\bar{N})称为 immersion
    • N 叫做侵入子流形

regular 子流形

regular 子流形基本定理

Lie group theory 中的重要概念

r参数Lie 群定义

  • 若群G具有r位光滑流形结构，使得群运算m:G\times G\rightarrow G,m(g,h)=g\cdot h,\,\,\,g,h\in G和逆元运算i:G\rightarrow G,i(g)=g^{-1},g\in G是流形间的光滑映射，则称G是r参数Lie 群
  • Lie 群：具有光滑的流形结构的群

Lie 子群

  • Lie 群G的子集H 叫做Lie 子群，如果H是G 的侵入子流形，则\varphi:\bar{H}\rightarrow G,H=\varphi(\bar{H}),H是Lie 群，\varphi是Lie 群上的同态映射

Lie group theory 中的重要定理

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