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数据结构----哈夫曼树

news 2026/2/10 14:16:56

这里写目录标题

基本概念
- 引子
- 基本概念
- - 各种路径长度
  - 各种带权路径长度
  - - 结点的带权路径长度
    - 树的带权路径长度
    - 哈夫曼树
- 哈夫曼树的构造
- - 理论基础
  - 构造思想
  - 总结
- 哈夫曼树的实现
- 哈夫曼编码
- - 前缀编码
  - 哈夫曼编码的思想
  - 案例
  - 代码实现
- 编码与解码

基本概念

引子

在这里插入图片描述

哈夫曼树就是寻找构造最优二叉树，用于提高效率

基本概念

各种路径长度

在这里插入图片描述

各种带权路径长度

结点的带权路径长度

在这里插入图片描述

树的带权路径长度

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

哈夫曼树

在这里插入图片描述
带权路径长度最短的树或者二叉树

也就是树的叶子结点带权路径长度之和：也就是叶子结点的结点路径长度（根结点到叶子结点的路径数） *权重再求和
在这里插入图片描述

总结：位高权重
并且哈夫曼树不唯一

哈夫曼树的构造

理论基础

在这里插入图片描述

构造思想

在这里插入图片描述
可以看到先将所有结点看成根结点构造出森林并将权重赋值给结点
之后选择两个小权重的结点二者构造出新树如上图新树根结点权重为子树结点权重之和
这时要先将森林中的两个树删除之后将两个树构造成的新树加入森林（为了进行下一次权重的比较从而下一步构造的顺利进行）
重复23步直到剩单根

在这里插入图片描述

度是指结点有的子树个数

哈夫曼树结点的度只能是0或者2
n个叶子结点的哈夫曼树一共有2n-1个结点分析如上橙色框

总结

在这里插入图片描述

哈夫曼树的实现

在这里插入图片描述
首先是已知叶子结点的个数以及权重

依次放入结构数组的前面数组一共长度是2n 因为结点一共有2n-1 所以构造2n的数组不用0下标

进行第二步合并的时候将新合并出来的结点往后依次放入所以根结点是数组中的最后一个位置

新节点合成的时候要修改新节点数组中的孩子结点下标两个孩子要修改数组中双亲的下标

之后重复查找最小的权重的两个结点前提是parent值是空这是判断的关键一旦parent值不为空的时候就相当于退出了比较

在这里插入图片描述

初始化

在这里插入图片描述
上图中select方法功能是在HT[K]中选择两个双亲域为0并且权重最小的结点并返回s1 s2 用于后续操作

方法参数中i-1 是新合成结点的下标，在选最小的两个结点时要从新节点前面选这里对应理论分析中“第三步的a步骤”
i会逐渐递增

哈夫曼编码

前缀编码

在这里插入图片描述
图中为非前缀编码所以要设计任意一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀
但是可以前缀一样后面不一样

哈夫曼编码的思想

在这里插入图片描述
要想出现次数最多的编码最短正好对应哈夫曼树的权重越大离跟结点越近的特点

所以在路径上标注0 或者 1
看从根结点到某一个叶子结点经过的路径那些路径得出来的编码就是字符对应的二进制编码

因为叶子结点不会出现一个字符的路径完全包含另一个字符的路径所以也就是前缀编码
并且要想出现次数最多的编码最短正好对应哈夫曼树的权重越大离跟结点越近的特点所以哈夫曼编码效率更高
在这里插入图片描述
因为叶子结点不会出现一个字符的路径完全包含另一个字符的路径所以也就是前缀编码
并且要想出现次数最多的编码最短正好对应哈夫曼树的权重越大离跟结点越近的特点所以哈夫曼编码效率更高

案例

在这里插入图片描述
先根据哈夫曼树的设计思想画出来哈夫曼树在路径上标注0 1

代码实现

在这里插入图片描述

其中HC数组是指针数组每个指针指向对应的字符串也就是字符串的头指针

编码与解码

在这里插入图片描述
进行哈夫曼编码时构造指针数组

先根据哈夫曼树的构造思想+字符频度表构造出哈夫曼树标上各个叶子结点代表的字符之后开始解码 0就向左走 1就向右走直到走到叶子结点记录一个字符重复此操作即可

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