左邻右舍裂差法求和 以及 连续自然数的立方和公式

左邻右舍裂差法求和

$1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+...+n\times (n+1)=?$

看成数列 $a_n=n^2+n,(n\in N^{+})$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

原理：将式子中的一项裂为两项，分开后的两项与前后各项能够消去。

$原式\times 3÷3=$

$\frac{1\times 2\times 3+2\times 3\times 3+3\times 4\times 3+4\times 5\times 3+...+n\times (n+1)\times 3}{3}$

$=\frac{1\times 2\times 3+2\times 3\times (4-1)+3\times 4\times (5-2)+4\times 5\times (6-3)+...+n\times (n+1)\times [(n+2)-(n-1)]}{3}$

$=\frac{1\times 2\times 3-1\times 2\times 3+2\times 3\times 4-2\times 3\times 4+3\times 4\times 5-3\times 4\times 5+4\times 5\times 6-...+n\times (n+1)\times (n+2)}{3}$

$=\frac{n\times (n+1)\times (n+2)}{3}.$

$\therefore 1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+...+n\times (n+1)=\frac{n\times (n+1)\times (n+2)}{3}.$

数列 $a_n=n^2+n,(n\in N^{+})$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

$原式\times 3÷3$ 乘以3再除以3不是偶然，换成其他的数就不行，因为
$2\times 3\times (4-1)$
左邻 $-1\times 2\times 3+2\times 3\times 4$ 右舍 : 左邻右舍裂差法求和，构造的这个数与该项乘开以后，正好能够左右与其他项消去。

也可以使用连续自然数的平方和公式快速求得结果：
$\stackrel{n}{\sum _{i=1}}[i\times (i+1)]=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}(i^2+i)=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^2+\stackrel{n}{\sum _{i=1}}i=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

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又如：数列 $a_n=n(n+1)(n+2),(n\in N^{+})$ 的前 $n$ 项和
$1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+4\times 5\times 6+...+n\times (n+1)\times (n+2)$

$=[1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+4\times 5\times 6+...+n\times (n+1)\times (n+2)]\times 4÷4$

$=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$.

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同样的道理：
对于数列 $a_n=4n^2-1,(n\in N^{+})$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 有：
$S_n=1\times 3+3\times 5+5\times 7+...+(2n-1)(2n+1)$

$=[1\times 3+3\times 5+5\times 7+...+(2n-1)(2n+1)]\times 6÷6$

$=\frac{1}{6}[1\times 3\times (5+1)+3\times 5\times (7-1)+5\times 7\times (9-3)+7\times 9\times (11-5)+...+(2n-1)(2n+1)(2n+3-2n)]$

$=\frac{1}{6}[1\times 3+1\times 3\times 5-1\times 3\times 5+3\times 5\times 7-3\times 5\times 7+5\times 7\times 9-5\times 7\times 9+7\times 9\times 11-...+(2n-1)(2n+1)(2n+3)]$

$=\frac{3+(2n-1)(2n+1)(2n+3)}{6}=\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}$.

或者使用平方和公式直接得出结果：
$\stackrel{n}{\sum _{i=1}}(4i^2-1)=4\cdot \stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^2-n=4\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-n=\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}$.

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对于数列 $a_n=8n^3+12n^2-2n-3,n\in N^{+}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 有：

$S_n=1\times 3\times 5+3\times 5\times 7+5\times 7\times 9+...+(2n-1)(2n+1)(2n+3)$

$=[1\times 3\times 5+3\times 5\times 7+5\times 7\times 9+...+(2n-1)(2n+1)(2n+3)]\times 8÷8$

$=\frac{1}{8}\cdot [1\times 3\times 5\times (7+1)+3\times 5\times 7\times (9-1)+5\times 7\times 9\times (11-3)+...+(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5-2n+3)]$

$=\frac{1}{8}\cdot [15+(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)]$

$=2n^4+8n^3+7n^2-2n$.

从以上结果中可以推出 连续自然数的立方和公式：
$\stackrel{n}{\sum _{i=1}}(8i^3+12i^2-2i-3)=8\cdot \stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^3+12\cdot \stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^2-2\cdot \stackrel{n}{\sum _{i=1}}i-3n$

$=8\cdot \stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^3+12\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\cdot \frac{n(n+1)}{2}-3n$

$=2n^4+8n^3+7n^2-2n$

$\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^3=\frac{1}{8}\cdot [(2n^4+8n^3+7n^2-2n)-2n(n+1)(2n+1)+n(n+1)+3n]=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=[\frac{n(n+1)}{2}{]}^2$.

$\therefore$ 连续自然数的立方和公式为： $\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^3=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=[\frac{n(n+1)}{2}{]}^2$.