当前位置: 首页 > news >正文

算法与数据结构(二十三)动态规划设计:最长递增子序列

注:此文只在个人总结 labuladong 动态规划框架,仅限于学习交流,版权归原作者所有;

也许有读者看了前文 动态规划详解,学会了动态规划的套路:找到了问题的「状态」,明确了 dp 数组/函数的含义,定义了 base case;但是不知道如何确定「选择」,也就是找不到状态转移的关系,依然写不出动态规划解法,怎么办?

不要担心,动态规划的难点本来就在于寻找正确的状态转移方程,本文就借助经典的「最长递增子序列问题」来讲一讲设计动态规划的通用技巧:数学归纳思想

最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence,简写 LIS)是非常经典的一个算法问题,比较容易想到的是动态规划解法,时间复杂度 O(N^2),我们借这个问题来由浅入深讲解如何找状态转移方程,如何写出动态规划解法。比较难想到的是利用二分查找,时间复杂度是 O(NlogN),我们通过一种简单的纸牌游戏来辅助理解这种巧妙的解法。

力扣第 300 题「最长递增子序列open in new window」就是这个问题:

输入一个无序的整数数组,请你找到其中最长的严格递增子序列的长度,函数签名如下:

int lengthOfLIS(int[] nums);

比如说输入 nums=[10,9,2,5,3,7,101,18],其中最长的递增子序列是 [2,3,7,101],所以算法的输出应该是 4。

注意「子序列」和「子串」这两个名词的区别,子串一定是连续的,而子序列不一定是连续的。下面先来设计动态规划算法解决这个问题。

一、动态规划解法

动态规划的核心设计思想是数学归纳法。

相信大家对数学归纳法都不陌生,高中就学过,而且思路很简单。比如我们想证明一个数学结论,那么我们先假设这个结论在 k < n 时成立,然后根据这个假设,想办法推导证明出 k = n 的时候此结论也成立。如果能够证明出来,那么就说明这个结论对于 k 等于任何数都成立。

类似的,我们设计动态规划算法,不是需要一个 dp 数组吗?我们可以假设 dp[0...i-1] 都已经被算出来了,然后问自己:怎么通过这些结果算出 dp[i]

直接拿最长递增子序列这个问题举例你就明白了。不过,首先要定义清楚 dp 数组的含义,即 dp[i] 的值到底代表着什么?

我们的定义是这样的:dp[i] 表示以 nums[i] 这个数结尾的最长递增子序列的长度

Info
为什么这样定义呢?这是解决子序列问题的一个套路,后文 动态规划之子序列问题解题模板 总结了几种常见套路。你读完本章所有的动态规划问题,就会发现 dp 数组的定义方法也就那几种。

根据这个定义,我们就可以推出 base case:dp[i] 初始值为 1,因为以 nums[i] 结尾的最长递增子序列起码要包含它自己。

举两个例子:
在这里插入图片描述

这个 GIF 展示了算法演进的过程:

在这里插入图片描述

根据这个定义,我们的最终结果(子序列的最大长度)应该是 dp 数组中的最大值。

int res = 0;
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;

读者也许会问,刚才的算法演进过程中每个 dp[i] 的结果是我们肉眼看出来的,我们应该怎么设计算法逻辑来正确计算每个 dp[i] 呢?

这就是动态规划的重头戏,如何设计算法逻辑进行状态转移,才能正确运行呢?这里需要使用数学归纳的思想:

假设我们已经知道了 dp[0..4] 的所有结果,我们如何通过这些已知结果推出 dp[5]

在这里插入图片描述

根据刚才我们对 dp 数组的定义,现在想求 dp[5] 的值,也就是想求以 nums[5] 为结尾的最长递增子序列。

nums[5] = 3,既然是递增子序列,我们只要找到前面那些结尾比 3 小的子序列,然后把 3 接到这些子序列末尾,就可以形成一个新的递增子序列,而且这个新的子序列长度加一

nums[5] 前面有哪些元素小于 nums[5]?这个好算,用 for 循环比较一波就能把这些元素找出来。

以这些元素为结尾的最长递增子序列的长度是多少?回顾一下我们对 dp 数组的定义,它记录的正是以每个元素为末尾的最长递增子序列的长度。

以我们举的例子来说,nums[0]nums[4] 都是小于 nums[5] 的,然后对比 dp[0]dp[4] 的值,我们让 nums[5] 和更长的递增子序列结合,得出 dp[5] = 3

在这里插入图片描述

for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}
}

i = 5 时,这段代码的逻辑就可以算出 dp[5]。其实到这里,这道算法题我们就基本做完了。

读者也许会问,我们刚才只是算了 dp[5] 呀,dp[4], dp[3] 这些怎么算呢?类似数学归纳法,你已经可以算出 dp[5] 了,其他的就都可以算出来:

for (int i = 0; i < nums.length; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {// 寻找 nums[0..j-1] 中比 nums[i] 小的元素if (nums[i] > nums[j]) {// 把 nums[i] 接在后面,即可形成长度为 dp[j] + 1,// 且以 nums[i] 为结尾的递增子序列dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}
}

结合我们刚才说的 base case,下面我们看一下完整代码:

int lengthOfLIS(int[] nums) {// 定义:dp[i] 表示以 nums[i] 这个数结尾的最长递增子序列的长度int[] dp = new int[nums.length];// base case:dp 数组全都初始化为 1Arrays.fill(dp, 1);for (int i = 0; i < nums.length; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}int res = 0;for (int i = 0; i < dp.length; i++) {res = Math.max(res, dp[i]);}return res;
}

至此,这道题就解决了,时间复杂度 O(N^2)。总结一下如何找到动态规划的状态转移关系:

1、明确 dp 数组的定义。这一步对于任何动态规划问题都很重要,如果不得当或者不够清晰,会阻碍之后的步骤。

2、根据 dp 数组的定义,运用数学归纳法的思想,假设 dp[0...i-1] 都已知,想办法求出 dp[i],一旦这一步完成,整个题目基本就解决了。

但如果无法完成这一步,很可能就是 dp 数组的定义不够恰当,需要重新定义 dp 数组的含义;或者可能是 dp 数组存储的信息还不够,不足以推出下一步的答案,需要把 dp 数组扩大成二维数组甚至三维数组。

目前的解法是标准的动态规划,但对最长递增子序列问题来说,这个解法不是最优的,可能无法通过所有测试用例了,下面讲讲更高效的解法。

注:核心问题是 2 个:

  1. dp 数组的定义:最好能直接对应问题,如最长递增子序列中 dp 数组表示以 nums[i] 结尾的最长的递增最序列;
  2. dp 数组的推理:即知道 dp[0...i-1] 都已知,如何求出 dp[i]

其中 dp 数组如何定义很重要!

二、拓展到二维

我们看一个经常出现在生活中的有趣问题,力扣第 354 题「俄罗斯套娃信封问题open in new window」,先看下题目:

在这里插入图片描述

这道题目其实是最长递增子序列的一个变种,因为每次合法的嵌套是大的套小的,相当于在二维平面中找一个最长递增的子序列,其长度就是最多能嵌套的信封个数

前面说的标准 LIS 算法只能在一维数组中寻找最长子序列,而我们的信封是由 (w, h) 这样的二维数对形式表示的,如何把 LIS 算法运用过来呢?

在这里插入图片描述

读者也许会想,通过 w × h 计算面积,然后对面积进行标准的 LIS 算法。但是稍加思考就会发现这样不行,比如 1 × 10 大于 3 × 3,但是显然这样的两个信封是无法互相嵌套的。

这道题的解法比较巧妙:

先对宽度 w 进行升序排序,如果遇到 w 相同的情况,则按照高度 h 降序排序;之后把所有的 h 作为一个数组,在这个数组上计算 LIS 的长度就是答案

画个图理解一下,先对这些数对进行排序:

在这里插入图片描述

然后在 h 上寻找最长递增子序列,这个子序列就是最优的嵌套方案:

在这里插入图片描述

那么为什么这样就可以找到可以互相嵌套的信封序列呢?稍微思考一下就明白了:

首先,对宽度 w 从小到大排序,确保了 w 这个维度可以互相嵌套,所以我们只需要专注高度 h 这个维度能够互相嵌套即可。

其次,两个 w 相同的信封不能相互包含,所以对于宽度 w 相同的信封,对高度 h 进行降序排序,保证二维 LIS 中不存在多个 w 相同的信封(因为题目说了长宽相同也无法嵌套)。

下面看解法代码:

// envelopes = [[w, h], [w, h]...]
public int maxEnvelopes(int[][] envelopes) {int n = envelopes.length;// 按宽度升序排列,如果宽度一样,则按高度降序排列Arrays.sort(envelopes, new Comparator<int[]>() {public int compare(int[] a, int[] b) {return a[0] == b[0] ? b[1] - a[1] : a[0] - b[0];}});// 对高度数组寻找 LISint[] height = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++)height[i] = envelopes[i][1];return lengthOfLIS(height);
}int lengthOfLIS(int[] nums) {// 见前文
}

为了清晰,我将代码分为了两个函数, 你也可以合并,这样可以节省下 height 数组的空间。

此处放上 Leetcode 官方答案,个人觉着解释的更清晰一些:

根据题目的要求, 如果我们选择了 k k k 个信封, 它们的的宽度依次为 w 0 , w 1 , ⋯ , w k − 1 w_0, w_1, \cdots, w_{k-1} w0,w1,,wk1, 高度依次为
h 0 , h 1 , ⋯ , h k − 1 h_0, h_1, \cdots, h_{k-1} h0,h1,,hk1, 那么需要满足: { w 0 < w 1 < ⋯ < w k − 1 h 0 < h 1 < ⋯ < h k − 1 \left\{\begin{array}{l} w_0<w_1<\cdots<w_{k-1} \\ h_0<h_1<\cdots<h_{k-1} \end{array}\right. {w0<w1<<wk1h0<h1<<hk1
同时控制 w w w h h h 两个维度并不是那么容易, 因此我们考虑固定一个维度, 再在另一个维度上进行选 择。例如, 我们固定 w w w
维度, 那么我们将数组 envelopes 中的所有信封按照 w w w 升序排序。这样一 来,
我们只要按照信封在数组中的出现顺序依次进行选取, 就一定保证满足: w 0 ≤ w 1 ≤ ⋯ ≤ w k − 1 w_0 \leq w_1 \leq \cdots \leq w_{k-1} w0w1wk1 了。然而小于等于 ≤ \leq 和小于 < < < 还是有区别的,但我们不妨首先考虑一个简化版本的问题:
如果我们保证所有信封的 w 值互不相同, 那么我们可以设计出一种得到答案的方法吗? 在 w w w 值互不相同的前提下,小于等于 ≤ \leq
和小于 < < < 是等价的,那么我们在排序后,就可以完全忽略 w w w 维度, 只需要考虑 h h h 维度了。此时, 我们需要解决的问题即为:
给定一个序列, 我们需要找到一个最长的子序列, 使得这个子序列中的元素严格单调递增, 即上面 要求的:
h 0 < h 1 < ⋯ < h k − 1 > h_0<h_1<\cdots<h_{k-1}> h0<h1<<hk1> 那么这个问题就是经典的「最长严格递增子序列」问题了, 读者可以参考力扣平台的 300 . 最长递增 子序列 及其 官方题解。最长严格递增子序列的详细解决方法属于解决本题的前置知识点, 不是本文分析的重点, 因此这里不再赘述,会在方法一和方法二中简单提及。 当我们解决了简化版本的问题之后, 我们来想一想使用上面的方法解决原问题, 会产生什么错误。当 w w w
值相同时,如果我们不规定 h h h 值的排序顺序,那么可能会有如下的情况: 排完序的结果为 [ ( w , h ) ] = [ ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) ] [(w,h)]=[(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)] [(w,h)]=[(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)], 由于这些信封的 w w w 值都相同, 不存在一个 信封可以装下另一个信封, 那么我们只能在其中选择 1 个信封。然而如果我们完全忽略 w w w 维度, 剩下的 h h h 维度为 [ 1 , 2 , 3 , 4 ] [1,2,3,4] [1,2,3,4],
这是一个严格递增的序列, 那么我们就可以选择所有的 4 个信封了, 这就产生了错误。 因此,我们必须要保证对于每一种 w w w 值,我们最多只能选择 1 个信封。 我们可以将 h h h 值作为排序的第二关键字进行降序排序, 这样一来, 对于每一种 w w w 值, 其对应的信封 在排序后的数组中是按照 h h h 值递减的顺序出现的, 那么这些 h h h 值不可能组成长度超过 1 的严格递增的序列,这就从根本上杜绝了错误的出现。 因此我们就可以得到解决本题需要的方法:

  • 首先我们将所有的信封按照 w w w 值第一关键字升序、 h h h 值第二关键字降序进行排序;
  • 随后我们就可以忽略 w w w 维度, 求出 h h h 维度的最长严格递增子序列, 其长度即为答案。 下面简单提及两种计算最长严格递增子序列的方法, 更详细的请参考上文提到的题目以及对应的官方 题解。

最后赋上个人题解:

    def maxEnvelopes(self, envelopes):""":type envelopes: List[List[int]]:rtype: int"""envelopes.sort(key = lambda x: (x[0], -x[1]))# heigth = [1] * len(envelopes)# for i in range(len(envelopes)):#     heigth[i] = envelopes[i][1]# return self.lcs(heigth)return self.lcsPro(envelopes)def lcs(self, heigth):if len(heigth) <= 1:return 1dp = [1] * len(heigth)for i in range(len(heigth)):for j in range(i):if heigth[i] > heigth[j]:dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)return max(dp)def lcsPro(self, envelopes):if len(envelopes) <= 1:return 1dp = [1] * len(envelopes)for i in range(len(envelopes)):for j in range(i):if envelopes[i][1] > envelopes[j][1]:dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)return max(dp) ```

三、参考文献

[1] 动态规划设计:最长递增子序列
[2] Leetcode 官方题解

相关文章:

算法与数据结构(二十三)动态规划设计:最长递增子序列

注&#xff1a;此文只在个人总结 labuladong 动态规划框架&#xff0c;仅限于学习交流&#xff0c;版权归原作者所有&#xff1b; 也许有读者看了前文 动态规划详解&#xff0c;学会了动态规划的套路&#xff1a;找到了问题的「状态」&#xff0c;明确了 dp 数组/函数的含义&a…...

相机的位姿在地固坐标系ECEF和ENU坐标系的转换

在地球科学和导航领域&#xff0c;通常使用地心地固坐标系&#xff08;ECEF&#xff0c;Earth-Centered, Earth-Fixed&#xff09;和东北天坐标系&#xff08;ENU&#xff0c;East-North-Up&#xff09;来描述地球上的位置和姿态。如下图所示&#xff1a; ​地心地固坐标ecef和…...

RFID技术助力汽车零配件装配产线,提升效率与准确性

随着科技的不断发展&#xff0c;越来越多的自动化设备被应用到汽车零配件装配产线中。其中&#xff0c;射频识别&#xff08;Radio Frequency Identification&#xff0c;简称RFID&#xff09;技术凭借其独特的优势&#xff0c;已经成为了这一领域的重要技术之一。本文将介绍RF…...

应用高分辨率 GAN 对扰动文档图像去扭曲的深度Python实践

1. 引言 随着技术的不断发展&#xff0c;图像处理在各种场景中的应用也变得越来越广泛。高分辨率 GAN (Generative Adversarial Network) 是近年来图像处理领域的热点技术&#xff0c;它能够生成极高分辨率的图像&#xff0c;与此同时&#xff0c;它也可以用于各种修复和增强任…...

【BASH】回顾与知识点梳理(二十六)

【BASH】回顾与知识点梳理 二十六 二十六. 二十一至二十五章知识点总结及练习26.1 总结26.2 模拟26.3 简答题 该系列目录 --> 【BASH】回顾与知识点梳理&#xff08;目录&#xff09; 二十六. 二十一至二十五章知识点总结及练习 26.1 总结 Linux 操作系统上面&#xff0c…...

React下载文件的两种方式

React下载文件的两种方式 - 代码先锋网 不知道有用没用看着挺整齐 没试过 1、GET类型下载 download url > {const eleLink document.createElement(a);eleLink.style.display none;// eleLink.target "_blank"eleLink.href url;// eleLink.href record;d…...

python入门知识:分支结构

前言 嗨喽&#xff0c;大家好呀~这里是爱看美女的茜茜呐 1.内容导图 &#x1f447; &#x1f447; &#x1f447; 更多精彩机密、教程&#xff0c;尽在下方&#xff0c;赶紧点击了解吧~ python资料、视频教程、代码、插件安装教程等我都准备好了&#xff0c;直接在文末名片自…...

DNS协议及其工作原理

DNS是域名系统&#xff08;Domain Name System&#xff09;的缩写&#xff0c;它是一种用于将域名转换为IP地址的分布式数据库系统。它是因特网的基石&#xff0c;能够使人们通过域名方便地访问互联网&#xff0c;而无需记住复杂的IP地址。 DNS的历史可以追溯到1983年&#xf…...

调用被fishhook的原函数

OC类如果通过runtime被hook了&#xff0c;可以通过逆序遍历方法列表的方式调用原方法。 那系统库的C函数被fish hook了该怎么办呢&#xff1f; 原理和OC类异曲同工&#xff0c;即通过系统函数dlopen()获取动态库&#xff0c;以动态库为参数通过系统函数dlsym()即可获取目标系统…...

java语言B/S架构云HIS医院信息系统源码【springboot】

医院云HIS全称为基于云计算的医疗卫生信息系统( Cloud- Based Healthcare Information System)&#xff0c;是运用云计算、大数据、物联网等新兴信息技术&#xff0c;按照现代医疗卫生管理要求&#xff0c;在一定区域范围内以数字化形式提供医疗卫生行业数据收集、存储、传递、…...

go文件基本操作

一、文件读操作 文件内容如下&#xff1a; 水陆草木之花&#xff0c;可爱者甚蕃。 晋陶渊明独爱菊。自李唐来&#xff0c;世人甚爱牡丹。 予独爱莲之出淤泥而不染&#xff0c;濯清涟而不妖&#xff0c;中通外直&#xff0c;不蔓不枝&#xff0c;香远益清&#xff0c;亭亭净植…...

每日一学——应用层

以下是一份关于应用层协议的学习资料&#xff1a; DNS (Domain Name System)&#xff1a;DNS是互联网上最常用的应用层协议之一&#xff0c;它将域名转换为对应的IP地址。你可以了解DNS的工作原理、域名解析过程和常见的DNS记录类型。 DHCP (Dynamic Host Configuration Proto…...

blender的快捷键记录

按键作用备注R旋转物体移动、旋转或缩放物体时&#xff0c;按下X、Y或Z键&#xff1a;按X、Y或Z轴方向移动、旋转或缩放S缩放物体G移动物体TAB键切换为编辑模式CTRL A弹出应用菜单物体模式旋转缩放后应用旋转与缩放&#xff0c;再进入编辑模式SHIFT 鼠标右键移动游标位置SHIF…...

3D- vista:预训练的3D视觉和文本对齐Transformer

论文&#xff1a;https://arxiv.org/abs/2308.04352 代码: GitHub - 3d-vista/3D-VisTA: Official implementation of ICCV 2023 paper "3D-VisTA: Pre-trained Transformer for 3D Vision and Text Alignment" 摘要 三维视觉语言基础(3D- vl)是一个新兴领域&…...

SAP ABAP 直接把内表转换成PDF格式(smartform的打印函数输出OTF格式数据)

直接上代码&#xff1a; REPORT zcycle055.DATA: lt_tab TYPE TABLE OF zpps001. DATA: ls_tab TYPE zpps001.ls_tab-werks 1001. ls_tab-gamng 150.00. ls_tab-gstrp 20201202. ls_tab-aufnr 000010000246. ls_tab-auart 标准生产. ls_tab-gltrp 20201205. ls_tab-matn…...

侯捷 C++ part2 兼谈对象模型笔记——7 reference、const、new/delete

7 reference、const、new/delete 7.1 reference x 是整数&#xff0c;占4字节&#xff1b;p 是指针占4字节&#xff08;32位&#xff09;&#xff1b;r 代表x&#xff0c;那么r也是整数&#xff0c;占4字节 int x 0; int* p &x; // 地址和指针是互通的 int& r x;…...

C++学习笔记总结练习:primer 学习日志

文章目录 针对自己的引言学习内容c语言基础知识1.为什么要声明变量2.cout ,cin3.c 不容许一个函数定义嵌套到另一个函数的定义中。4.编译指令using5.c基本类型长度6.在定义常量时尽可能使用const 关键字而不用#define9.前缀递增符与后缀递增符的区别10.c中的cctype库11.c 中的s…...

发布一个开源的新闻api(整理后就开源)

目录 说明: 基础说明 其他说明: 通用接口&#xff1a; 登录: 注册: 更改密码(需要token) 更换头像(需要token) 获取用户列表(需要token): 上传文件(5000端口): 获取文件(5000端口)源码文件&#xff0c;db文件均不能获取: 验证token(需要token): 获取系统时间: 文件…...

3d max省时插件CG MAGIC功能中的材质参数可一键优化!

渲染的最终结果就是为了让渲染效果更加真实的体现。 对于一些操作上&#xff0c;可能还是费些时间&#xff0c;VRay可以说是在给材质做加法的路上越走越远&#xff0c;透明度、凹凸、反射等等参数细节越做越多。 对于材质参数调节的重要性大家都心里有数的。 VRay材质系统的每…...

什么是变量提升(hoisting)?它在JavaScript中是如何工作的?

聚沙成塔每天进步一点点 ⭐ 专栏简介⭐ 变量提升&#xff08;Hoisting&#xff09;⭐ 变量提升的示例&#xff1a;⭐ 写在最后 ⭐ 专栏简介 前端入门之旅&#xff1a;探索Web开发的奇妙世界 记得点击上方或者右侧链接订阅本专栏哦 几何带你启航前端之旅 欢迎来到前端入门之旅&…...

React Native 导航系统实战(React Navigation)

导航系统实战&#xff08;React Navigation&#xff09; React Navigation 是 React Native 应用中最常用的导航库之一&#xff0c;它提供了多种导航模式&#xff0c;如堆栈导航&#xff08;Stack Navigator&#xff09;、标签导航&#xff08;Tab Navigator&#xff09;和抽屉…...

从WWDC看苹果产品发展的规律

WWDC 是苹果公司一年一度面向全球开发者的盛会&#xff0c;其主题演讲展现了苹果在产品设计、技术路线、用户体验和生态系统构建上的核心理念与演进脉络。我们借助 ChatGPT Deep Research 工具&#xff0c;对过去十年 WWDC 主题演讲内容进行了系统化分析&#xff0c;形成了这份…...

PHP和Node.js哪个更爽?

先说结论&#xff0c;rust完胜。 php&#xff1a;laravel&#xff0c;swoole&#xff0c;webman&#xff0c;最开始在苏宁的时候写了几年php&#xff0c;当时觉得php真的是世界上最好的语言&#xff0c;因为当初活在舒适圈里&#xff0c;不愿意跳出来&#xff0c;就好比当初活在…...

2024年赣州旅游投资集团社会招聘笔试真

2024年赣州旅游投资集团社会招聘笔试真 题 ( 满 分 1 0 0 分 时 间 1 2 0 分 钟 ) 一、单选题(每题只有一个正确答案,答错、不答或多答均不得分) 1.纪要的特点不包括()。 A.概括重点 B.指导传达 C. 客观纪实 D.有言必录 【答案】: D 2.1864年,()预言了电磁波的存在,并指出…...

OkHttp 中实现断点续传 demo

在 OkHttp 中实现断点续传主要通过以下步骤完成&#xff0c;核心是利用 HTTP 协议的 Range 请求头指定下载范围&#xff1a; 实现原理 Range 请求头&#xff1a;向服务器请求文件的特定字节范围&#xff08;如 Range: bytes1024-&#xff09; 本地文件记录&#xff1a;保存已…...

基于Docker Compose部署Java微服务项目

一. 创建根项目 根项目&#xff08;父项目&#xff09;主要用于依赖管理 一些需要注意的点&#xff1a; 打包方式需要为 pom<modules>里需要注册子模块不要引入maven的打包插件&#xff0c;否则打包时会出问题 <?xml version"1.0" encoding"UTF-8…...

Spring Boot+Neo4j知识图谱实战:3步搭建智能关系网络!

一、引言 在数据驱动的背景下&#xff0c;知识图谱凭借其高效的信息组织能力&#xff0c;正逐步成为各行业应用的关键技术。本文聚焦 Spring Boot与Neo4j图数据库的技术结合&#xff0c;探讨知识图谱开发的实现细节&#xff0c;帮助读者掌握该技术栈在实际项目中的落地方法。 …...

华硕a豆14 Air香氛版,美学与科技的馨香融合

在快节奏的现代生活中&#xff0c;我们渴望一个能激发创想、愉悦感官的工作与生活伙伴&#xff0c;它不仅是冰冷的科技工具&#xff0c;更能触动我们内心深处的细腻情感。正是在这样的期许下&#xff0c;华硕a豆14 Air香氛版翩然而至&#xff0c;它以一种前所未有的方式&#x…...

python报错No module named ‘tensorflow.keras‘

是由于不同版本的tensorflow下的keras所在的路径不同&#xff0c;结合所安装的tensorflow的目录结构修改from语句即可。 原语句&#xff1a; from tensorflow.keras.layers import Conv1D, MaxPooling1D, LSTM, Dense 修改后&#xff1a; from tensorflow.python.keras.lay…...

代码随想录刷题day30

1、零钱兑换II 给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币&#xff0c;另给一个整数 amount 表示总金额。 请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额&#xff0c;返回 0 。 假设每一种面额的硬币有无限个。 题目数据保证结果符合 32 位带…...