matlab使用教程(20)—插值基础

1.网格和散点样本数据

        插值是在位于一组样本数据点域中的查询位置进行函数值估算的方法。函数值是根据最接近查询点的样本数据点计算的。MATLAB 根据样本数据的结构，可以执行两种插值。样本数据可以形成网格，也可以是分散的。

        网格化的样本数据使得插值更加高效，因为有组织的数据结构使得 MATLAB 能够轻松找到最靠近查询点的样本数据点。然而，对散点数据进行插值需要数据点的“Delaunay 三角剖分”，这就增加了一重计算。因此，如果您的数据可以逼近为一个网格，则与散点插值相比，网格插值可以节省大量的计算时间和内存使用量。

        以下主题讨论了两种插值方式：

        • “插入网格数据” 讨论轴对齐网格格式的样本数据的一维插值和 N 维插值：

        • “内插散点数据” 讨论散点数据的 N 维插值：  

1.1 插值与曲线拟合

        MATLAB 中提供的插值方法可创建经过样本数据点的插值函数。也就是说，如果查询一个样本位置的插值函数，会取回精确的样本数据值而不是逼近。对比插值，曲线和曲面拟合算法则不需要通过样本数据点。有关曲线拟合的详细信息，请参阅 Curve Fitting Toolbox。

1.2 网格逼近技术

        在某些情况下，可能需要数据的逼近网格。例如，网格具有的点可以位于曲线上。如果数据是基于经纬度的，则可能出现这样的数据集：

        使用曲线网格，您实际上是处理一组散点数据，并且必须使用计算成本更高的散点插值函数对这些值进行插值。然而，虽然输入数据无法直接网格化，但有时可以在合适的区间用直网格线来逼近曲线网格：

 

        您可以通过创建一组具有适当间距的网格向量来创建逼近网格。用直线逼近曲线网格的优点是可获得基于网格的插值的性能，但代价是数据略微失真。有关创建网格向量的详细信息，请参阅“网格表示法” 。

2.插入网格数据

        网格数据由形成网格的等间距点上的值或测量值组成。网格数据应用于许多领域，如气象学、测绘学和医学成像。在这些领域，经常以固定空间间隔取测量值，且可能随时间进行测量。这些有序的数据网格的范围可以从一维（对于简单时间序列）到四维（对于随时间变化的三维体测量）或更高维。网格数据的一些示例有：

        • 一维：随时间变化的股票价格

        • 二维：曲面的温度

        • 三维：大脑的 MRI 图像

        • 四维：随时间变化的海洋水体测量值

        在所有这些应用中，基于网格的插值可高效地将数据的有用性扩展到未进行测量的点。例如，如果您有某股票的小时价格数据，可以使用插值来逼近每 15 分钟的价格。

2.1 MATLAB 网格插值函数

        MATLAB 提供几种用于基于网格插值的工具：

        1）网格创建函数

        meshgrid 和 ndgrid 函数创建各种维度的网格。 meshgrid 可以创建二维或三维网格，而 ndgrid 可以创建任意维数的网格。这些函数使用不同输出格式返回网格。您可以使用 pagetranspose（从 R2020b开始）或 permute 函数在这些网格格式之间进行转换，以交换网格的前两个维度。

        2）插值函数：

        interp 系列函数包括 interp1 、 interp2 、 interp3 和 interpn。每个函数都设计用于对具有特定维数的数据进行插值。 interp2 和 interp3 使用 meshgrid 格式的网格，而 interpn 使用 ndgrid 格式的网格。

        3）插值对象

        griddedInterpolant 对象支持对 ndgrid 格式的数据进行任意维数的插值。这些对象还支持多值插值（从 R2021a 开始），其中每个网格点可以有多个关联的值。与使用 interp 函数相比，使用 griddedInterpolant 对象具有内存和性能优势。 griddedInterpolant 为插值对象的重复查询提供了显著的性能改进，而 interp 函数在每次调用时都会执行新计算。此外，griddedInterpolant 以内存高效格式存储采样点，并以多线程方式利用多核计算机处理器。

2.2 网格表示法

        MATLAB 允许按以下三种方式之一表示网格：完整网格、简洁网格或默认网格。默认网格和简洁网格主要是分别为了方便使用和提高效率。

        1）完整网格

        完整网格是一种以显式方式定义所有点的网格。ndgrid 和 meshgrid 的输出定义一个完整网格。您可以创建均匀的完整网格，其中每个维度中的点具有相等的间距，或创建非均匀的完整网格，其中一个或多个维度的间距不同。均匀网格在不同维度上可以有不同间距，但每个维度内的间距是固定的。

        均匀完整网格的示例如下：

[X,Y] = meshgrid([1 2 3],[3 6 9 12])

X =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Y =

3 3 3

6 6 6

9 9 9

12 12 12

        2）简洁网格

        在处理大型网格时，显式定义网格中的每个点会消耗大量内存。简洁网格表示法无需完整网格的内存使用量。简洁网格表示法只存储网格向量（每个维度对应一个），而不存储整个网格。各网格向量共同隐式定义了网格。事实上， meshgrid 和 ndgrid 的输入是网格向量，这些函数复制网格向量以形成完整网格。简洁网格表示法使您能够绕过网格创建，并将网格向量直接提供给插值函数。例如，假设有两个向量， x1 = 1:3 和 x2 = 1:5 。可以将这些向量视为沿 x1 方向的一组坐标和沿 x2 方向的一组坐标，如下所示：

        每个箭头指向一个位置。使用这两个向量可以定义一组网格点，其中一组坐标由 x1 给定，另一组坐标由x2 给定。在复制网格向量时，它们构成了组成完整网格的两个坐标数组：

        您的输入网格向量可能是单调或非单调的。单调向量所含的值在该维中递增，或在该维中递减。反之，非单调向量含有的值会上下波动。如果输入网格向量是非单调的，如 [2 4 6 3 1] ，则 [X1,X2] = ndgrid([2  4 6 3 1]) 输出非单调网格。如果要将网格传递给其他 MATLAB 函数，网格向量应当是单调的。 sort 函数可用于确保单调性。

        3）默认网格

        在某些应用中，只有网格点的值才是重要的，而网格点之间的距离并不重要。例如，大多数 MRI 扫描收集的数据在所有方向上都是等间距的。在这种情况下，您可以允许插值函数自动生成默认网格表示来处理数据。为此，无需提供插值函数的网格输入。当您不提供网格输入时，该函数会自动将数据视为位于单位间距的网格上。该函数在执行时创建此单位间距的网格，省去您自己创建网格的麻烦。

2.3 示例：二维网格上的温度插值

        假设在一个曲面上以 5 厘米固定间隔收集温度数据，在每个方向上延伸 20 厘米。使用 meshgrid 创建完整网格。

[X,Y] = meshgrid(0:5:20)

X =

0 5 10 15 20

0 5 10 15 20

0 5 10 15 20

0 5 10 15 20

0 5 10 15 20

Y =

0 0 0 0 0

5 5 5 5 5

10 10 10 10 10

15 15 15 15 15

20 20 20 20 20

        每个网格点的坐标 (x,y) 表示为 X 和 Y 矩阵中的对应元素。第一个网格点由 [X(1) Y(1)] 给出，即 [0 0]，下一个网格点由 [X(2) Y(2)] 给出，即 [0 5]，依此类推。现在，创建一个矩阵来表示网格上的温度测量值，然后将数据绘制为曲面。

T = [1 1 10 1 1;
1 10 10 10 10;
100 100 1000 100 100;
10 10 10 10 1;
1 1 10 1 1];
surf(X,Y,T)
view(2)

        虽然中心网格点的温度很高，但从原始数据来看，其位置和对周围网格点的影响并不明显。

要将数据分辨率提高 10 倍，请使用 interp2 将温度数据插值到使用 0.5 厘米间隔的更精细的网格上。再次使用 meshgrid 创建由矩阵 Xq 和 Yq 表示的更精细的网格。然后，将 interp2 与原始网格、温度数据和新网格点结合使用，绘制生成的数据。默认情况下， interp2 在每个维度中使用线性插值。

[Xq,Yq] = meshgrid(0:0.5:20);
Tq = interp2(X,Y,T,Xq,Yq);
surf(Xq,Yq,Tq)
view(2)

 

对温度数据进行插值可以增加图像的细节，并大大提高测量区域内数据的有用性。

2.4 网格插值方法对比

        MATLAB 中基于网格的插值函数和对象提供几种不同插值方法。在选择插值方法时，切记有些方法比其他方法需要更多的内存或更长的计算时间。您需要权衡这些资源，以实现结果所需要的平滑度。下表给出了应用于同一一维数据的每种插值方法的预览，并概述了每种方法的优点、取舍和要求。