03.有监督算法——决策树

1.决策树算法

决策树算法可以做分类，也可以做回归

决策树的训练与测试：

训练阶段：从给定的训练集构造出一棵树（从根节点开始选择特征，如何进行特征切分）

测试阶段：根据构造出来的树模型从上到下走一遍

一旦决策树构建好了，那么分类或预测任务就变得简单。难点在于如何构造出一颗树。或者说难点在于如何对数据特征进行重要程度的排序。

建立决策树的关键在于在当前状态下选择哪个属性作为分类依据。根据不同的目标函数，建立决策树主要有以下三种算法:

1.1. ID3(Iterative Dichotomiser)

熵：表示随机变量不确定性的度量，可以理解成物体内部的混乱程度。

信息熵：
$$\mathrm{H}(\mathrm{D})=-\sum _{\mathrm{k}=1}^K\frac{|C_{{}_k}|}{|D|}{\log }_2\frac{|C_{{}_k}|}{|D|}$$

其中，K是类别，D是数数据集，C_k是类别K下的数据集。

信息增益:表示特征X使得类Y的不确定性减小的程度（表示分类后的专一性，希望分类后的结果是同类在一起）

条件熵：
$$\mathrm{H}(D|A)=\sum _{\mathrm{i}=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}H(D_i)$$
其中，A是特征，i是特征取值。

信息增益构造决策树的步骤：

1.根据不同分类特征，求出信息增益，并找出信息增益最大的特征作为当前的决策结点
2.更新子集，在自己中选取新的特征，求信息增益的最大的特征
3.若划分的子集只包含单一特征，则为分支的叶子结点

缺点：

• ID3没有剪枝策略，容易过拟合;
• 信息增益准则对可取值数目较多的特征有所偏好，类似“编号”的特征其信息增益接近于1;
• 只能用于处理离散分布的特征;
• 没有考虑缺失值。

这么多缺点，那么有没有改进呢——C4.5

1.2. C4.5

C4.5是ID3算法的改进。相比ID3 选择属性用的是子树的信息增益，C4.5用的是信息增益率

此外，C4.5还有以下用途：

• 在决策树构造过程中，进行剪枝
• 对非离散数据也能进行处理
• 还能处理不完整数据

信息增益：$$g(\mathrm{D},\mathrm{A})=\mathrm{H}(\mathrm{D})-\mathrm{H}(D|A)$$

信息增益率：$$g_R(\mathrm{D},\mathrm{A})=\frac{g(D,A)}{H_A(D)}$$

其中，公式$$\mathrm{H}(\mathrm{D})=-\sum _{\mathrm{k}=1}^K\frac{|C_{{}_k}|}{|D|}{\log }_2\frac{|C_{{}_k}|}{|D|}$$，n是特征A的取值个数

注意：决策树 过拟合风险很大，理论上可以将数据完全分开。所以为了防止过拟合，就要进行剪枝操作:

• 预剪枝：边建立决策树边进行剪枝的操作
• 后剪枝：当建立完决策树 后进行剪枝操作

后剪枝:通过一定的衡量标准，具体来说:C4.5采用的悲观剪枝方法，用递归的方式从低往上针对每一个非叶子节点，评估用一个最佳叶子节点去代替这课子树是否有益。如果剪枝后与剪枝前相比其错误率是保持或者下降，则这棵子树就可以被替换掉。

后剪枝决策树的欠拟合风险很小，泛化性能往往优于预剪枝决策树

1.3. CART(Classification And Regression Tree)

Classification And Regression Tree（CART）是决策树中的一种。

这种决策树用基尼指数来选择属性（分类），或者用均方差来选择属性（回归）。

基尼指数：

$$\mathrm{G}ini(p)=\sum _{k=1}^K{p}_k(1-p_k)$$

如果目标变量是离散的，称为分类树。最后取叶子结点的众数做分类结果。

如果目标变量是连续的，称为回归树。连续性目标没有类别概念，因此不能用熵进行计算，但是我们可以考虑另一种衡量物体内部混乱程度的指标：方差

对于任意划分特征A，对应的任意划分点s两边划分成数据集D1和D2，求出使D1和D2各自集合的均方差最小，同时D1和D2的均方差之和最小所对应的特征和特征值划分点。表达式为：

$$\underset{a,s}{\min }[\underset{c_1}{\min }\sum _{x_i\in D_1}^n{(y_i-c_1)}^2+{\min }_{c2}\sum _{x_i\in D_2}^n{(y_i-c_2)}^2]$$
其中，$$c_1$$为$$D_1$$数据集的样本输出均值，$$c_2$$为$$D_2$$数据集的样本输出均值