回文子串-中心拓展

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入：s = “abc”
输出：3
解释：三个回文子串: “a”, “b”, “c”
示例 2：

输入：s = “aaa”
输出：6
解释：6个回文子串: “a”, “a”, “a”, “aa”, “aa”, “aaa”

提示：

1 <= s.length <= 1000
s 由小写英文字母组成

计算有多少个回文子串的最朴素方法就是枚举出所有的回文子串，而枚举出所有的回文字串又有两种思路，分别是：

• 枚举出所有的子串，然后再判断这些子串是否是回文；

• 枚举每一个可能的回文中心，然后用两个指针分别向左右两边拓展，当两个指针指向的元素相同的时候就拓展，否则停止拓展。

假设字符串的长度为 n。我们可以看出前者会用 $O(n^2)$ 的时间枚举出所有的子串 $s[l_i...r_i]$, 然后再用 $O(r_i-l_i+1)$ 的时间检测当前的子串是否是回文，整个算法的时间复杂度是 $O(n^3)$。而后者枚举回文中心的是 $O(n)$ 的，对于每个回文中心拓展的次数也是 $O(n)$的，所以时间复杂度是 $O(n^2)$。所以我们选择第二种方法来枚举所有的回文子串。

在实现的时候，我们需要处理一个问题，即如何有序地枚举所有可能的回文中心，我们需要考虑回文长度是奇数和回文长度是偶数的两种情况。如果回文长度是奇数，那么回文中心是一个字符；如果回文长度是偶数，那么中心是两个字符。

class Solution:def countSubstrings(self, s: str) -> int:n = len(s)ans = 0for i in range(n):#奇数长度ans += 1l, r = i - 1, i + 1while l > -1 and r < n:if s[l] == s[r]:ans += 1else:breakl -= 1r += 1#偶数长度if (i + 1) < n and s[i] == s[i+1]:ans += 1l, r = i - 1, i + 2while l > -1 and r < n:if s[l] == s[r]:ans += 1else:breakl -= 1r += 1return ansif __name__ == '__main__':s = Solution()print(s.countSubstrings("abc"))print(s.countSubstrings("aaa"))

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。

复杂度更低的方法参考：https://leetcode.cn/problems/palindromic-substrings/solution/hui-wen-zi-chuan-by-leetcode-solution/