【考研数学】线性代数第四章 —— 线性方程组（1，基本概念 | 基本定理 | 解的结构）

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引言

继向量的学习后，一鼓作气，把线性方程组也解决了去。O.O

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一、线性方程组的基本概念与表达形式

方程组

称为 $n$ 元齐次线性方程组。

方程组

称为 $n$ 元非齐次线性方程组。

方程组（I）又称为方程组（II）对应的齐次线性方程组或导出方程组。

方程组（I）和方程组（II）分别称为齐次线性方程组和非齐次线性方程组的基本形式。

令 ${\alpha }_1=(a_{11},a_{21},\dots ,a_{m1}{)}^T,{\alpha }_2=(a_{12},a_{22},\dots ,a_{m2}{)}^T,\dots ,{\alpha }_n=(a_{1n},a_{2n},\dots ,a_{mn}{)}^T,b=(b_1,b_2,\dots ,b_m{)}^T$ ，则方程组（I）（II）可表示为如下向量形式：$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=0（1.1）$$$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=b（2.1）$$

令 $X=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$ ，矩阵 $A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n]$ ，即

则方程组（I）（II）可表示为如下矩阵形式：$$AX=0（1.2）$$$$AX=b（2.2）$$

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二、线性方程组解的基本定理

其实就是前面我们在学向量时就已经总结过的，矩阵、向量和线性方程组解的关系，传送门。

• 齐次方程组只有零解 $\iff$ 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关 $\iff$ $r(A)=n.$
• 齐次方程组有非零解 $\iff$ 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性相关 $\iff$ $r(A)<n.$

特别地，如果系数矩阵 $A$ 为 $n$ 阶方阵，还有以下结论：

• 齐次方程组只有零解 $\iff$ $|A|\ne 0.$
• 齐次方程组有非零解 $\iff$ $|A|=0.$

对于非齐次方程组解的情况，我们可对有解的情况进一步讨论。

• 非齐次方程组有解 $\iff$ $r(\overline{A})=r(A).$
  • 非齐次方程组有唯一解 $\iff$ $r(A)=n.$
  • 非齐次方程组有无数解 $\iff$ $r(A)<n.$
• 非齐次方程组无解 $\iff$ $r(\overline{A})=r(A)+1.$

特别地，如果系数矩阵 $A$ 为 $n$ 阶方阵，还有以下结论：

• 非齐次方程组有解 $\iff$ $r(\overline{A})=r(A).$
  • 非齐次方程组有唯一解 $\iff$ $|A|\ne 0.$
  • 非齐次方程组有无数解 $\iff$ $|A|=0.$
• 非齐次方程组无解 $\iff$ $r(\overline{A})=r(A)+1.$

在学向量时就已经讨论了矩阵、向量和方程组解的关系的话，现在来学就会非常轻松。

对于系数矩阵是方阵的方程组，无非就是将行列式和秩联系了起来。如果矩阵的秩那一部分学得到位，也不是什么难点。因此如果要记忆就记忆秩的关系就好，行列式的结论自然能想到。

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三、线性方程组解的结构

1. 设 $X_1,X_2,\dots ,X_s$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的一组解，则 $k_1{X}_1+k_2{X}_2+\cdots +k_s{X}_s$ 也为齐次线性方程组 $AX=0$ 的解，其中 $k_1,k_2,\dots ,k_s$ 为任意常数。
2. 设 ${\eta }_0$ 为非齐次线性方程组 $AX=b$ 的一个解，$X_1,X_2,\dots ,X_s$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的一组解，则$k_1{X}_1+k_2{X}_2+\cdots +k_s{X}_s+{\eta }_0$ 为非齐次线性方程组 $AX=b$ 的解。
3. 设 ${\eta }_1,{\eta }_2$ 为非齐次线性方程组 $AX=b$ 的两个解，则 ${\eta }_1-{\eta }_2$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的解。
4. 设 $X_1,X_2,\dots ,X_s$ 为非齐次线性方程组 $AX=b$ 的一组解，若 $k_1{X}_1+k_2{X}_2+\cdots +k_s{X}_s$ 也为非齐次线性方程组 $AX=b$ 的解的充要条件是 $k_1+k_2+\cdots +k_s=1.$
5. 设 $X_1,X_2,\dots ,X_s$ 为非齐次线性方程组 $AX=b$ 的一组解，若 $k_1{X}_1+k_2{X}_2+\cdots +k_s{X}_s$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的解的充要条件是 $k_1+k_2+\cdots +k_s=0.$

是不是有点熟悉，特别像我们在微分方程中学的关于高阶线性微分方程的解的结构。

1. 齐次解线性组合仍为齐次解。
2. 齐次解 + 非齐次解为非齐次解。
3. 非齐次解相减为齐次解。
4. 非齐次解线性组合，系数之和为 1 才是非齐次解。
5. 非齐次解线性组合，系数之和为 0 才是齐次解。

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写在最后

线性方程组还有些内容，是关于计算的，我们放在后面来细说！