【C++修炼之路】20.手撕红黑树

每一个不曾起舞的日子都是对生命的辜负

前言

在上一节中我们学到了AVL树的结构及其相关性质，对于平衡树来说，AVL无疑是最完美的结构，但实际上AVL树由于完美的结构因此也要花费一定的代价，由于AVL树的结构很敏感，查找虽然最快，但插入节点后一旦偏离AVL结构就会进行旋转，而旋转就会花费一定的性能。因此我们提到的map和set的底层为了防止这种性能上的缺失，即便AVL是非常完美的结构，也不采用AVL。而是采用我们这节所要描述的红黑树。

一.红黑树的概念及性质

1.1 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

可见红黑树的这种结构，虽然在不满足条件时会发生旋转，但敏感程度相比AVl树大大降低。

1.2 红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的（此处的叶子结点指的是空结点）

需要注意的是：对于性质3，意思就是没有连续的红色结点。

思考： 为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

就上面的这颗红黑树来说，有11条路径（需算到空）我们只观察黑色结点，发现是接近满二叉树的。对于红黑树的最短路径，最短的极限情况就是一条路径全是黑色的结点，因为其他路径也会有相同数目的黑节点加上一定数量的红色结点，而最长路径就是一黑一红相间的路径。可见，最长的结点个数是最短结点个数的二倍。

这样就是红黑树的结构，且存在最长和最短的情况，最短为最长的二分之一。

由于红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因此可以看成近似平衡，对于这种不确定的结构，自然就有最好的情况和最坏的情况。

• 最好情况：（左右平衡）

全黑或者每条路径都是一黑一红相间的路径，接近满二叉树。那么此时设全黑的路径长度为h结点数量为N，则2^h - 1 + _ = N（_代表红色结点，由于一条路径红色结点数量一定小于等于黑色，所以可以忽略计算）此时，h = logN。

• 最坏情况：（左右极其不平衡）

左子树全黑，且右子树一黑一红。那么此时最长路径为2*logN。

总结： 可以看出，在对数的加持下，即便是最坏情况，对于计算机来说相差也不是很大。虽不如AVL的极度平衡，但红黑树明显在插入节点时显得张弛有力。对于AVL来说，说是过刚易折也不为过，往往像红黑树那样增加一定的柔韧性，才是最后的选择。

二.红黑树的结构

2.1 红黑树节点的定义

相比较AVL树，红黑树的结点仍是三叉链这个结构，为后续不满足结构的条件旋转做准备。此外，和AVL树结点不同的是，红黑树不再有平衡因子这一变量，而是多了一个定义颜色的变量，颜色变量通过枚举实现。下面看看结点定义的代码：

enum Color//颜色采用枚举，但STL库采用的是特殊的bool值，后续会看
{RED,//0BLACK,//1
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;Color _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_col(RED)//默认哪种颜色都可以，因为后续会改{}};

2.2 红黑树类的封装

enum Color//颜色采用枚举，但STL库采用的是特殊的bool值，后续会看
{RED,//0BLACK,//1
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;Color _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_col(RED)//默认哪种颜色都可以，因为后续会改{}};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public://成员函数bool Insert(const pair<K, V>& kv){}
private:Node* _root = nullptr;
};

三.红黑树的插入

与AVL树一样，在插入中需要考虑的因素众多，但相比AVL，红黑树在插入时的情况少很多，因为其结构没有AVL树的高度平衡。

---

在红黑树的性质中，第三，第四条尤为重要。即：

• 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
• 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点

如果我们新插入的结点的颜色为黑的话，插入之后一定会打破上述第二个结构，导致每条路径的黑结点数量不同；如果新插入的节点的颜色为红色的话，也有可能不满足情况，如果插入节点的父节点为黑的话还好，但如果父节点为红，也就不满足这个条件了。因此，插入节点的颜色尤为重要，经过上述考虑，插入节点的颜色为红无疑是最好的选择，因为有可能满足条件，有可能不满足条件，但插入黑色一定不满足。如果插入红色的也不满足，那就后期处理就好了。

• 插入节点的颜色必须为红

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检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定: cur为当前（插入）节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

对于新节点的插入，与父节点和父节点的兄弟节点也有关，下面就看看各种情况：

情况1：只变色

• cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

通过上面图的步骤，我们大致知道了思路，如果红色结点连续，为了满足红黑树的不能有连续红色结点的性质，我们需要将其双亲也就是父亲结点变成黑色，如果这棵树是子树，那么为了保证黑色结点数量不变，我们需要将g变红，如果g的双亲仍是红色，那么就一直往上更新迭代。对于上图，实际上同样是个抽象图，因为a,b,c,d,e可以使任意的红黑树子树，情况也会随着这几个抽象树节点的增加而变化的非常多，因此我们只需要牢记这种抽象图即可。

cur和p均为红，违反了性质三，此处能否将p直接改为黑？
解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

可以看出，红色结点的增加是因为插入节点，黑色节点的增加是为了保证红黑树结构的性质从红色结点变化而来的。

情况2：变色+单旋

• cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

如果不存在叔叔结点u，那么是这样的结构：

此时，新增的cur节点为红，那我们必须想办法将p变黑，此时就可以考虑将g为轴进行旋转的方式

这样，就可以使其满足红黑树的结构了，u结点存在且为黑和此同理。

接下来看看步骤：

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则g进行右单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则g进行左单旋转
p、g变色–p变黑，g变红

情况3：双旋

• cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

看似与情况二一样，实际上区别是cur插入的左右不同。情况2为左，情况3为右。

和上篇中的AVL一样，对于这种弯的结构，只进行一次旋转是不可能成功的，因此需要进行两部旋转，上图只旋转了一次，变成了情况2，因此需要再旋转一次，就能满足红黑树结构的性质。

步骤：

1. p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转。
   则转换成了情况2。转换成情况2之后，再根据情况2的步骤继续旋转：
2. p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则g进行右单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则g进行左单旋转
   p、g变色–p变黑，g变红

注意，经过左旋，变色位置不变，但对应位置的结点变了，因此在代码编写时需注意这个问题。

插入的代码实现：

注：Insert单拿出来观察，其利用的旋转函数与AVL一样，只不过去掉了平衡因子。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;//根节点为黑色return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED;//重要，插入的结点初始化成红色if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}while (parent && parent->_col == RED)//如果父亲的颜色为红，才需要去处理{Node* grandfather = parent->_parent;//找到祖父才能找到叔叔if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;//看叔叔颜色//情况1：uncle存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//情况2或3：不用考虑叔叔的问题，即叔叔为空还是为黑{if (cur == parent->_left)//情况2{//     g//   p// cRotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else//情况3{//     g//   p//     cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else//与上述代码的左右反过来了而已，步骤一样但左右相反。{Node* uncle = grandfather->_left;//情况1if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//情况2和3{//  g//     p//        cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//  g//     p//   cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}}}}_root->_col = BLACK;return true;
}

此外，有插入就有删除，删除是插入的反向思维。删除太难了，不用学。真想了解看这个，但是没有代码：红黑树 - Never - 博客园 (cnblogs.com)

四.红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
2. 检测其是否满足红黑树的性质

函数代码：

bool IsBalance()//检查是否为红黑树结构
{if (_root == nullptr){return true;}if (_root->_col != BLACK){return false;}int ref = 0;Node* left = _root;while (left){if (left->_col == BLACK){++ref;}left = left->_left;}//遍历这棵树，就好了，检查是否存在连续的红结点。//检查父亲，因为孩子不一定有，但是一定有父亲return Check(_root, 0, ref);
}
bool Check(Node* root, int blackNum, int ref)
{if (root == nullptr){if (blackNum != ref){cout << "违反规则：一条路径上的黑色节点数量不同" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << "违反规则，出现连续红色结点" << endl;}if (root->_col == BLACK){++blackNum;}return Check(root->_left, blackNum, ref)&& Check(root->_right, blackNum, ref);
}

五.红黑树实现代码（完整）

随机插入构建红黑树：

以升序插入构建红黑树：

以降序插入构建红黑树：

RBTree.h

#pragma onceenum Color//颜色采用枚举，但STL库采用的是特殊的bool值，后续会看
{RED,//0BLACK//1
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;Color _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _col(RED){}};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;//根节点为黑色return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED;//重要，插入的结点初始化成红色if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}while (parent && parent->_col == RED)//如果父亲的颜色为红，才需要去处理{Node* grandfather = parent->_parent;//找到祖父才能找到叔叔if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;//看叔叔颜色//情况1：uncle存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//情况2或3：不用考虑叔叔的问题，即叔叔为空还是为黑{if (cur == parent->_left)//情况2{//     g//   p// cRotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else//情况3{//     g//   p//     cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else//与上述代码的左右反过来了而已，步骤一样但左右相反。{Node* uncle = grandfather->_left;//情况1if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//情况2和3{//  g//     p//        cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//  g//     p//   cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}}}}_root->_col = BLACK;return true;}//旋转代码和AVL一样，只是去掉了平衡因子void RotateL(Node* parent)//左单旋{//1.记录subR, subRLNode* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)//subRL不为空则需要连接到parent{subRL->_parent = parent;}Node* ppNode = parent->_parent;//记录保存subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (ppNode == nullptr)//说明根节点变化{_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else//如果是局部子树{//判断ppNode之前是左连接还是右连接if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}}void RotateR(Node* parent)//右单旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* ppNode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (ppNode == nullptr){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}}void Inorder(){_Inorder(_root);}bool IsBalance()//检查是否为红黑树结构{if (_root == nullptr){return true;}if (_root->_col != BLACK){return false;}int ref = 0;Node* left = _root;while (left){if (left->_col == BLACK){++ref;}left = left->_left;}//遍历这棵树，就好了，检查是否存在连续的红结点。//检查父亲，因为孩子不一定有，但是一定有父亲return Check(_root, 0, ref);}private:bool Check(Node* root, int blackNum, int ref){if (root == nullptr){if (blackNum != ref){cout << "违反规则：一条路径上的黑色节点数量不同" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << "违反规则，出现连续红色结点" << endl;}if (root->_col == BLACK){++blackNum;}return Check(root->_left, blackNum, ref)&& Check(root->_right, blackNum, ref);}void _Inorder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_Inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_Inorder(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};void TestRBTree1()
{int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };RBTree<int, int> t;for (auto e : a){t.Insert(make_pair(e, e));}t.Inorder();}

Test.cpp

#include<iostream>
#include<string>
#include<map>
#include<assert.h>
using namespace std;
#include"RBTree.h"
int main()
{TestRBTree1();return 0;
}

六.红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($lo{g}_{2}N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。