微积分基本概念

微分

函数的微分是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。。对于函数 $y=f(x)$ 的微分记作：
$$d_y=f^{{}^{\prime }}(x)d_x$$
微分和导数的区别在于：导数是曲线在那个点的切线斜率，而微分是那个切线的一元线性方程。
微分的几何意义：是用局部切线段近似代替曲线段，即非线性函数局部线性化。

积分

积分可以分为定积分和不定积分两种。

定积分

对于函数 $f(x)$ 在区间 [a,b] 上定积分记作：
$${\int }_b^{a}f(x)d_x$$
其几何意义为函数$f(x)$在区间[a,b]上的覆盖面积，如下图：

不定积分

不定积分是导数的逆运算，即反导数。当$f$是$F$的导数时，则$F$是$f$的不定积分。常用公式如下：

• $\int a{d}_x=ax+C$
• $\int x^a{d}_x=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C$
• $\int \frac{1}{x}=ln|x|+C$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+C$
• $\int sinxdx=-cosx+C$
• $\int cosxdx=sinx+C$
• $\int tanxdx=-ln|cosx|+C$

泰勒公式

用多项式拟合原函数：
$$f(x)=f(x_0)+f^{{}^{\prime }}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+...$$

几何分析

如下内容来自如何通俗地解释泰勒公式？，因为在$x_0$点的任意阶导数都为常数，暂且不管，对于幂函数有如下特点：

多个幂函数相加：

增加阶乘后效果如下：

通过改变系数，多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线，对于$e(x)$拟合：