量化面试-概率题

一、题目

1.糖果罐（绿皮书79页）

一个口袋内有10个红色球，20个蓝色球，30个绿色球，随机地把球一个一个取出来，请问红色球最先被拿完的概率？

2 折木棍（绿皮书89页）

将一根长为1的木棍随机折成三段（两个断点服从均匀分布），请问这三段木棍能组成一个三角形的概率是？

3 第一张ACE（绿皮书95页）

一副打乱的标准扑克牌（4张ACE，48张其他牌），期望从中抽多少张，才能拿到第一张ACE？（计算次数时，包含这张ACE）

4 n个均匀分布之和（绿皮书95页）

记N为n个服从[0,1]均匀分布，互相独立的随机变量之和。请问N小于1的概率是？

二、答案

1. 糖果罐

• 原题：一个口袋内有10个红色球，20个蓝色球，30个绿色球，随机地把球一个一个取出来，请问红色球最先被拿完的概率？
• 题目分析：随机取球红色先被取完，也就是当第10个红色球被取出时，口袋内蓝色球和绿色球没有被取完（至少还有一个蓝色球和一个绿色球）的概率是多少。 逆向思考，把问题变成取出第1个红球前，至少取出有1个绿球和1个蓝球的概率是多少。分两种情况分别算概率后加和，一种是绿蓝红，另一种是蓝绿红。
• 解题过程：
  • 先取出绿球的概率为1/2，保证有一个绿球后，再有多少个绿球都是符合条件的，所以接下来考虑再有一个蓝球的概率时，仅在红球和蓝球的集合中考虑至少有一个蓝球的概率即可，这个概率是2/3，故绿蓝红的概率为1/2*2/3=1/3
  • 先取出蓝球的概率为1/3，同理蓝球不再影响结果，计算绿球概率时不考虑蓝球，再取出闾丘的概率为3/4，故蓝绿红概率为1/3*3/4=1/4
  • 绿蓝红+蓝绿红=1/3+1/4=7/12，因此红球最先被拿完的概率是7/12

2 折木棍

• 原题：将一根长为1的木棍随机折成三段（两个断点服从均匀分布），请问这三段木棍能组成一个三角形的概率是？
• 题目分析：
• 解题过程：

3 第一张ACE

• 原题：一副打乱的标准扑克牌（4张ACE，48张其他牌），期望从中抽多少张，才能拿到第一张ACE？（计算次数时，包含这张ACE）
• 题目分析：
• 解题过程：

4 n个均匀分布之和

• 原题：记N为n个服从[0,1]均匀分布，互相独立的随机变量之和。请问N小于1的概率是？
• 题目分析：
• 解题过程：