数学建模：变异系数法

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变异系数法

变异系数法的设计原理是：

• 若某项指标的数值差异较大，能明确区分开各被评价对象，说明该指标的分辨信息丰富，因而应给该指标以较大的权重；
• 若某项指标的数值差异较小，那么这项指标区分各评价对象的能力较弱，因而应给该指标较小的权重。

因为方差可以描述取值的离散程度，即某指标的方差反映了该指标的的分辨能力，所以可用方差定义指标的权重。

注意：使用变异系数法的前提恰恰是所有指标在评价体系中的重要性相当。也就是说，当指标在评价体系中的重要性相差较大时，使用变异系数法确定权重并不一定合适。

算法流程

1. 创建原始指标数据矩阵：$Data$ 形状为 $m\ast n$ 列 ，表示有 $m$ 行对象，$n$个指标
2. 对$Data$进行指标正向化处理，然后进行指标标准化处理
3. 计算第$j$ 项指标的均值和标准差：
   1. 实际上我们进行变成时，计算均值和标准差也就是一条语句而已。 mean 与std

$$\{\begin{array}{r}{\bar{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}=\frac{1}{\mathrm{n}}{\sum }_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{ij}}\\ \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{j}}=\sqrt{\frac{{\sum }_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{ij}}-{\bar{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}\right)}^2}{\mathrm{n}-1}}\end{array}$$

1. 计算第$j$ 项指标的变异系数 $V$

$${\mathrm{v}}_{\mathrm{j}}=\frac{{\mathrm{s}}_{\mathrm{j}}}{{\bar{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}},\mathrm{j}=1,2,\cdots ,\mathrm{p}$$

1. 对各指标的变异系数进行归一化处理。

$${\mathrm{w}}_{\mathrm{j}}=\frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{j}}}{{\sum }_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{p}}{\mathrm{v}}_{\mathrm{j}}}$$

1. 最后我们得到全部指标的权重

W = { w 1 , w 2 , ⋯ , w p } \text{W}=\{\mathrm{w}_1,\mathrm{w}_2,\cdots,\mathrm{w}_\mathrm{p}\} W={w1​,w2​,⋯,wp​}

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代码实现

function [Score,w]=mfunc_variableCoefficient(data)% 变异系数法：求解每个指标的权重% paramts: %      data: 原始数据矩阵,(m,n) m为评价对象，n为评价指标% returns:%      Score：每个评价对象的综合得分%      w:     所有指标的权重%数据标准化 for j=1:size(data,2)data(:,j)= data(:,j)./sqrt(sum(data(:,j).^2));endA=mean(data); %求每列指标平均值S=std(data);  %求每列指标方差%计算变异系数V=S./A; %计算各指标的权重w=V./sum(V);%计算得分s=data*w';Score=100*s/max(s);
end