LA@齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的结构🎈

解的性质

齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解

• 设${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_r$都是$(2)$的解,则${\sum }_{i=1}^r=k_i{\xi }_i$

• 证明1:

  • 对于齐次线性$(2)$,如果两向量${\xi }_1,{\xi }_2$都是该方程组的解向量,那么对于${\xi }_1,{\xi }_2$的线性组合${\xi }_3=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$也是该方程组的解向量

    • $A{\xi }_i=0,i=1,2$
    • $A{\xi }_3=A(\sum _{i=1}^2{k}_i{\xi }_i)=\sum _{i=1}^2{k}_{i}A{\xi }_i$
    • 而$k_{i}A{\xi }_i=0$,所以$A{\xi }_3=0$

  • 类似的,可以得到,齐次线性方程组的解的线性组合还是方程组的解

• 证明2:

  • 两个解向量的和仍然是解向量,再证明解向量的$k$倍仍然是解向量,即可证明任意个解向量的常数倍之和(也就任意个解向量的线性组合)仍然是解向量

• 事实上,齐次线性方程组的全部解可以由有限个解向量(的线性组合)表示

基础解系

• 方程$(2)$的所有解向量构成的向量集合(向量组)记为$S$
• 设$S$存在一个极大无关组$S_0:{\xi }_1,\cdots ,{\xi }_t$,那么$S$中的向量都能由$S_0$线性表示,$S_0$称为$(2)$的一个基础解系

通解

• 最大无关组$S_0$的任何线性组合$\mathbf{x}={\sum }_{i=1}^r=k_i{\xi }_i$,(,$k_i,i=1,2\cdots ,t$为任意实数)是$(2)$的解,能够表示$S$中的任意向量,所有也成为$(2)$的通解

• 把$Ax=0$全体解所构成的集合记为$S$,设$\Phi ={\xi }_1,\cdots ,{\xi }_s$是S的一个极大无关组,$R(A)=r,s=n-r$

  • ​

• 通解:最大无关组$\Phi$的任意向量$x=\Phi (k_1,\cdots ,k_s{)}^T=\sum _{i=1}^s{k}_i{\xi }_i$性组合都是方程$Ax=0$的解

  • 通解(是$\Phi$的生成子空间)
  • 齐次线性方程组的通解可以描述(表出)方程组的任意一个解

• 齐次线性方程组$Ax=0$的解集的极大无关组称为该齐次方程组的基础解系,要求齐次线性方程的通解,只需要求它的基础解系

定理:齐次线性方程组基础解系存在定理

• 若$R(A)=n$,方程$(2)$只有唯一解零解,不存在基础解系
• 若$R(A)<n$,方程$(2)$存在非零解(无穷多解),一定存在基础解系

齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数(秩)👺

• 方程组解集的秩$R(S)$,即基础解系的秩的性质是十分有用的性质
• 揭示了方程(2)系数矩阵的秩$R(\mathbf{A})$,解集的秩$R(S)$与未知数(元)个数$n$的关系
• 若方程(2)存在基础解系$A_0$,则包含的向量的个数为$n-r$,即方程(2)的解集$S$的秩为$R_s=n-r$,或者作$R(A)+R(S)=n$
• 另一种描述:设$m\times n$的矩阵$\mathbf{A}$的秩为$R(\mathbf{A})=r$,则$n$元齐次线性方程组$\mathbf{Ax}=0$的解集$S$的秩$R_s=n-r$
• 同时$n-r$是方程(2)的通解中包含的自由未知数的个数;非自由未知数的个数则是系数矩阵的秩$r=R(\mathbf{A})$

应用和示例

推论1

• 设${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{B}}_{n\times l}=O$,则$R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})⩽n$
  • 令$\mathbf{A}=({\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n)$;$\mathbf{B}=({\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_l)$,$A,B$分别表示$\mathbf{A},\mathbf{B}$列向量组
  • 矩阵方程$\mathbf{AB}=\mathbf{O}$等价于向量方程组:$\mathbf{A}({\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_l)=0$,即
    • $\mathbf{A}{\mathbf{b}}_i=0$,$i=1,\cdots ,l$
  • 可以看出${\mathbf{b}}_i$都是方程$\mathbf{Ax}=0$的解
  • 设$\mathbf{Ax}=0$的解集为$S$,则${\mathbf{b}}_i\in S$,说明$B$是$S$的部分组,所以$R(B)⩽R(S)$
  • 而$R(S)=n-R(A)$,所以$R(B)⩽n-R(A)$
  • 所以$R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})⩽n$

推论2

• 设$n$元齐次线性方程组$\mathbf{Ax}=0$与$\mathbf{Bx}=0$通解,则$R(\mathbf{A})$=$R(\mathbf{B})$
  • 分别设两个方程组的解集为$S_1,S_2$,则$S_1=S_2$
  • 则$R(\mathbf{A})=n-R(S_1)$;$R(\mathbf{B})=n-R(S_2)$
  • 又$R(S_1)=R(S_2)$,所以$R(\mathbf{A})$=$R(\mathbf{B})$
• 这表明,当$\mathbf{A},\mathbf{B}$的列数相同,(方程$\mathbf{Ax}=0,\mathbf{Bx}=0$包含数量相同的未知数)时
• 欲证$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$,可以转换为证若$\mathbf{Ax}=0,\mathbf{Bx}=0$两个方程组同解

推论3:转置矩阵对的乘积秩的性质

• $R({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A})$=$R(\mathbf{A})$
• 证明:设$\mathbf{A}$是$m\times n$的令$\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}$,显然$\mathbf{B}$是$n\times n$的
  • 由此可见,$\mathbf{A},\mathbf{B}$有相同的列数
  • 若$\mathbf{x}$满足$\mathbf{Ax}=0$,则${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}(\mathbf{Ax})=0$也成立,由结合律:$\mathbf{Bx}=0$
  • 若$\mathbf{x}$满足$\mathbf{Bx}=0$($n\times 1$),对其两边取转置运算,${\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{B}}^{\mathbf{T}}=0$($1\times n$),即${\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}=0$($1\times n$),再对两边同时右乘以$\mathbf{x}$($n\times 1$),得$({\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}})(\mathbf{Ax})=0$,即$(\mathbf{Ax}{)}^{\mathbf{T}}(\mathbf{Ax})=0$,由${\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}=\mathbf{O}\Rightarrow \mathbf{X}=\mathbf{O}$可知,$\mathbf{Ax}=0$
  • 可见$\mathbf{Ax}=0,\mathbf{Bx}=0$同解,由推论2,$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$,所以结论成立

非自由未知数的选取方法(最左方法)

• 若方程$(2)$的秩$R(A)=r<n$,将前$r$个未知数$x_1,\cdots ,x_r$作为非自由变量;其余$n-r$个$x_{r+1},\cdots ,x_n$作为自由变量
• 种方式选择非自由变量和自由变量的方法是最常用的,称为最左方法

基础解系和通解形式的不唯一性

• 当$R(A)=r<n$时,方程$(2)$的基础解系包含$n-r$个向量,因此任意$n-r$个线性无关解向量都是$(2)$的基础解系
• 即方程$(2)$的基础解系不唯一,其通解形式也不唯一

证明

分析

• 方程$(2)$的系数矩阵$\mathbf{A}$通过初等变换(通解初等变换)可以得到如下形式的强化行最简形矩阵

  • $$B=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& \cdots & 0& c_{1,1}& \cdots & c_{1,n-r}\\ 0& 1& \cdots & 0& c_{2,1}& \cdots & c_{2,n-r}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& c_{r,1}& \cdots & c_{r,n-r}\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{E}_r& C\\ O& O\end{array}\right)$$

  • 按最左方法,其反映的是$x_1,\cdots ,x_r$是非自由未知数时,$x_{r+1},\cdots ,x_n$是自由未知数(共$s=n-r$个)

  • 其中$s$描述了方程组$(2)$的自由度(基础解系包含的线性无关向量的多样性)

  • 非自由未知数用自由未知数表示为式(1):

    • $$x_i=-\sum _{k=1}^s{c}_{i,k}\times x_{r+k};(i=1,2,\cdots ,r)$$

    • $$\xi =\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_r\\ x_{r+1}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\sum _{i=1}^s{c}_{1,i}\times x_{r+i}\\ ⋮\\ -\sum _{i=1}^s{c}_{r,i}\times x_{r+i}\\ x_{r+1}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

  • 设方程$(2)$的全部解的集合为$S$

证法1

齐次线性方程的基础解系构造

• $(2)$的解是$n$维向量,分两部分,前$r$为非自由未知数,后$s$维为自由未知数

  • 设计特解时,先选定后$s$维

    • 为了简单方便起见,通常取解向量的后s维为单位坐标向量(向量中只含有一个0,1两种元素,且只有一个元素是1)

    • $$\begin{gathered} q_i=\left(\begin{array}{c}{x}_{r+1}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right) \\ {q}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right);q_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right);\cdots ;q_s=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

  • 计算前$r$维(将$q_i,i=1,2,\cdots ,s$代入式(1))

    • $$p_i=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_r\end{array}\right)$$

    • $$p_1=\left(\begin{array}{c}-c_{1,1}\\ -c_{2,1}\\ \cdots \\ -c_{r,1}\end{array}\right);p_2=\left(\begin{array}{c}-c_{1,2}\\ -c_{2,2}\\ \cdots \\ -c_{r,2}\end{array}\right);\cdots ;p_s=\left(\begin{array}{c}-c_{1,n-r}\\ -c_{2,n-r}\\ \cdots \\ -c_{r,n-r}\end{array}\right)$$

  • $$\xi =\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$$

    $${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}-c_{1,1}\\ -c_{2,1}\\ \cdots \\ -c_{r,1}\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right);{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}-c_{1,2}\\ -c_{2,2}\\ \cdots \\ -c_{r,2}\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right);\cdots ;{\xi }_s=\left(\begin{array}{c}-c_{1,n-r}\\ -c_{2,n-r}\\ \cdots \\ -c_{r,n-r}\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right);$$

证明所构造的向量组是基础解系

• 线性无关性:

  • 方法1:矩阵$\mathbf{D}=({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_s)$中包含${\mathbf{E}}_s$,且$|{\mathbf{E}}_{n-r}|=s\ne 0$,$R(\mathbf{D})=s$所以$D:{\xi }_1,\cdots ,{\xi }_s$线性无关
  • 方法2:由${\xi }_i$的结构可以看出,${\xi }_i$的后s维是构成的向量之间是线性无关的,而线性无关组的延伸组依然线性无关

• $S$的全部向量可以由$D$线性表示:

  • 设向量$\xi =(k_1,\cdots ,k_r,k_{r+1},\cdots ,k_n)$是$S$的任意一个向量,
    • 构造向量$D$的线性组合:${\xi }^{\ast }=\sum _{i=1}^s{k}_{r+i}{\xi }_i$则${\xi }^{\ast }$也是方程$(2)$的通解,并且表出系数来自需要被$D$线性表示的向量$\xi$的第$r+1,\cdots ,n$个元
    • 容易发现,${\xi }^{\ast }$和$\xi$在第$r+1,\cdots ,n$维是相同的
    • 又根据前面的分析以及式(1),方程$(2)$的解向量包括非自由变量和自由变量,其中非自由变量取决于自由变量的取值,所以非自由变量完全确定了整个解向量(若两个解向量的非自由未知数一样,则两个解向量相等)
    • 所以${\xi }^{\ast }=\xi$,即任意解向量都能由${\xi }^{\ast }$(即$D$的线性组合)表示
    • 所以$S$的全部向量可以由$D$线性表示

• 所以$D$是$S$的极大无关组,所以$D$方程$(2)$的基础解系

证法2

• 令自由未知量$x_{r+i}$分别取$k_i$,$i=1,2,\cdots ,s$;代入式$(1)$;则方程$(2)$的通解表示为
  $$\xi =\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_r\\ x_{r+1}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_r\\ k_1\\ ⋮\\ k_s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\sum _{i=1}^s{c}_{1,i}\times k_i\\ ⋮\\ -\sum _{i=1}^s{c}_{r,i}\times k_i\\ k_1\\ ⋮\\ k_s\end{array}\right)=k_1\left(\begin{array}{c}-c_{1,1}\\ ⋮\\ -c_{r,1}\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\cdots +k_s\left(\begin{array}{c}-c_{1,s}\\ ⋮\\ -c_{r,s}\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$

• 将上述通解记为:$\xi ={\sum }_{i=1}^s{k}_i{\xi }_i$,涉及的向量记为向量组:$\mathbf{D}=({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_s)$

• 通解$\xi$可以表示$S$中的任意向量

• 而$D$中后$s$行构成一个$s$阶单位阵,其行列式为1(非0),所以$R(D)=s$所以$D$线性无关

• 所以$D$是方程$(2)$的一个基础解系解系

小结

• 上述两种方法一种是先求基础解系再求通解;另一种是先求通解再求基础解系

基础解系构造提要

• 可以从$Ax=0$的系数矩阵A通过初等变换转化为(包含r阶单位子阵,r=R(A))的强化行最简矩阵U,

  • $r=R(A),s=n-r$

  • $$\begin{gathered} U=\left(\begin{array}{cc}{E}_{r\times r}& T_{r\times s}\\ 0_{t\times r}& 0_{t\times s}\end{array}\right) \\ r+s=n \\ \mathbf{D}=\left(\begin{array}{c}-T_{r\times s}\\ E_{s\times s}\end{array}\right) \end{gathered}$$

    • $D:{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s$是$\mathbf{D}$的列向量组

    • $D$就是$\mathbf{Ax}=0$的基础解系

  • 我们把注意力集中在分块$P_{r\times s}=-T_{r\times s}$上即可,在此基础上,追加一个s阶的单位阵;

    • 最终该矩阵的每个列向量就是基础解系的一个解向量成员

• 方法1:不一定要化作强化行最简形矩阵,也可以考虑化为准行最简形矩阵(W)(和强化行最简形矩阵相差若干列交换的调整)

  • 从$W$中读出$r$个非自由未知数用$n-r$个自由未知数的表达式
  • 取定合适的$n-r$个组值(每组值可以来自$n-r$阶单位阵的不同列),得到$n-r$个解向量作为基础解系
  • 得到通解

• 方法2:将行简化矩阵进一步调整为$U$的形式可能要做列交换,这会使得解向量中的元素不再和$x_1,\cdots ,x_n$一一对应,需要注意这一点,记录列交换的情况,然后调整顺序使之对应$x_1,\cdots ,x_n$

例

• 设$\mathbf{Ax}=0$:

  • $$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\\ 2& -5& 3& 2\\ 7& -7& 3& 1\end{array}\right)\stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{2}{7}& -\frac{3}{7}\\ 0& 1& -\frac{5}{7}& -\frac{4}{7}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

  • $R(A)=2<4$方程有无穷多解,其基础解系$S_0$存在且$R(S_0)=n-r=4-2=2$

  • 令$x_1,x_2$为非自由未知数,$x_3,x_4$为自由未知数

  • $$\begin{gathered} x_1=\frac{2}{7}{x}_3+\frac{3}{4}{x}_4 \\ {x}_2=\frac{5}{7}{x}_3+\frac{4}{7}{x}_4 \end{gathered}$$

• 基础解系

  • 令取2组自由未知数的取值:$q_1$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$,$q_2$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$,则对应的非自由未知数向量:$p_1$=$\left(\begin{array}{c}\frac{2}{7}\\ \frac{5}{7}\end{array}\right)$,$q_2$=$\left(\begin{array}{c}\frac{3}{7}\\ \frac{4}{7}\end{array}\right)$
  • 即得方程组得解集中的两个线性无关的特解${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}\frac{2}{7}\\ \frac{5}{7}\\ 1\\ 0\end{array}\right)$;${\xi }_2=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{7}\\ \frac{4}{7}\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
  • (Note:如果用构造提要一节中,可以直接得出${\xi }_1,{\xi }_2$)

• 通解

  • $\xi ={\sum }_{i=1}^2{k}_i{\xi }_i$,其中$k_i\in \mathbb{R}$

补充

• 结合上面的例子讨论

再给出一组上述基础解系之外的其他基础解系

• 例如
  • $q_1$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$,$q_2$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$,$q_1,q_2$线性无关(不成比例)
  • ${\eta }_1=\left(\begin{array}{c}\frac{5}{7}\\ \frac{7}{9}\\ 1\\ 1\end{array}\right)$;${\eta }_2=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{7}\\ \frac{1}{7}\\ 1\\ -1\end{array}\right)$
  • 则${\eta }_1,{\eta }_2$与${\xi }_1,{\xi }_2$同为$S$的极大无关组,都是方程组的基础解系

非最左方法选取非自由变量

• 非自由变量的选取不按最左方法时,求解基础解系的过程相较于上节讨论的"标准过程"会有所不同

  • 例如$x_1$若按最左方法会被归为非自由未知数,但是这假设$x_1$被作为自由未知数

    • 相应的,需要有其他未知数$x_j,j\ne 1$代替原$x_1$作为非自由未知数
    • 在标准过程中,行最简形矩阵的第1列是${\mathbf{e}}_1=(1,0,\cdots ,0{)}^T$
    • 在这里利用行变换,将$\mathbf{A}$的第$j$列(记为$c_j$,是$x_j$的系数,$j\ne 1$)变换成${\mathbf{e}}_1$
    • 类似的,共可以选出$n-r$个自由未知数设为$x_{j_k}$,$(k=1,\cdots ,n-r)$,需要通过初等行变换,将$\mathbf{A}$中的其他$r$个非自由未知数分别转换为${\mathbf{e}}_i$(${\mathbf{e}}_i$表示$n$维单位坐标向量中第$i$维是1的列向量,$j_k$之间互不相等)
    • 此时的矩阵虽然不是行最简形矩阵,(这类矩阵不是唯一的),其具有和行最简形矩阵相同的作用,称其为准行最简形矩阵都能够利用$r$个$n$维单位坐标向量读出$n-r$个自由未知数表示$r$个非自由未知数的表出系数

  • 本例中,我们打算将$x_1,x_2$作为自由未知数来表示非自由未知数$x_3,x_4$,

    • $$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\\ 2& -5& 3& 2\\ 7& -7& 3& 1\end{array}\right)\stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{cccc}-5& 2& 0& 1\\ 4& -3& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

    • 类似的,可以看出$x_3=-4x_1+3x_2$;$x_4=5x_1-2x_2$,$x_1,x_2\in \mathbb{R}$

    • 此时基础解系可以取

      • $${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -4\\ 5\end{array}\right);{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$$

      • 通解为$\xi ={\sum }_{i=1}^2{k}_i{\xi }_i$

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