动态规划之连续乘积最大子数组 连续和最大子数组

一. 连续和最大子数组

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1
示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

1.1 怎么想到使用动态规划？

当然是题目给的建议。

1. 题目中讲，求最大和。
2. 题目中讲，返回最大和。

我们要做的是求一个目标值（通常最大，最小）， 不要求过程，只要结果。 对于这种题目，我们通常使用动态规划。

1.2 动态规划第一步该做什么？

首先明确几个关键点。

1. 最大连续子数组，与子序列区别开，即数组下标连续。
2. 和最大，针对每个【i】怎么计算子问题。

当然就是找到状态转移方程啊！

$$f(i)=\{\begin{array}{r}f(i-1)+i(i<=f(i-1)+i)\\ i(i>f(i-1)+i)\end{array}$$

求和的状态转移方程很简单。当我们有了 i - 1位置的结果，去求 i位置的连续子数组和，当然就是用 $f(i-1)+i和i$ 比较一下，拿最大的呀

仔细想想，这不对吧？

这有什么不对的呢？

明显，前4个最大连续和是 1 + 2 + 3 = 6。

所以错在哪里了呢？或者说，我们怎么计算能得到6呢？

…

很简单，return 2 > 6 ? 2 : 6 不就行了吗

我们的函数计算的值是以当前坐标为结尾的数组的最大子数组。
动态规划的子问题和整体问题求的目标是一致的，只有状态再更迭，此处的状态就是下标index。

计算得到函数要与旧的最大值进行比较取最大。

fun maxSubArray(nums []int) int {pre, res := 0, nums[0]for _, v := range nums {pre = max(pre + v, v)res = max(res, pre)}return res
}

二. 连续乘积最大子数组

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

测试用例的答案是一个 32-位 整数。
子数组 是数组的连续子序列。

示例 1:

输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。
示例 2:

输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

2.1 这个题目使用什么方法？

1. 乘积最大。
2. 返回乘积。
3. 连续子数组。

这俩题目，是不是一样的。先想一想差别。

求最大值，返回结果， 那使用动态规划没什么问题。

2.2 直接写代码

fun maxSubArray(nums []int) int {pre, res := 1, nums[0]for _, v := range nums {pre = max(pre * v, v)res = max(res, pre)}return res
}

因为乘法，所以pre初始值改为1 。

会有问题吗？

明显的错误…

只是加法变乘法，原来的方案就行不通了。

问题就在于，乘法遇到负数，从最大变成了最小，-4 * 3 = -12

所以我们需要对这个负号进行一下特殊的处理。

2.3 状态该怎么变化呢？

如果遇到负数，我们希望使用一个最小的值与其做乘积运算，期望得到一个最大的值； 反之遇到正数，我们要用一个最大的值进行乘积运算。

所以，我们需要记两个值，分别是一个最大的preMax 和一个最小的preMin.

$$\begin{gathered} preMax=f(i{)}_{max} \\ preMin=f(i{)}_{min} \\ preMax=Max(f(i-1{)}_{max}\ast num[i],f(i-1{)}_{min}\ast num[i],num[I]) \\ preMin=Min(f(i-1{)}_{min}\ast num[i],f(i-1{)}_{max}\ast num[i],num[I]) \end{gathered}$$

代码就比较简单了

func maxProduct(nums []int) int {preMax,preMin, res := 1,1, nums[0]for _,v := range nums {mn,mx := preMin,preMaxpreMax = max(mx * v, max(mn * v,v))preMin = min(mn * v, min(mx * v,v))res = max(preMax,res)}return res

为什么多了一行mn,mx := preMin,preMax
你可以去掉试试看~

20230902记录，今天先到这里。