【算法】函数渐近的界基础知识及定理

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c语言内容💖：

专栏：c语言之路重点知识整合

【c语言】全部知识点总结

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函数渐近的界可以用来表示函数的边界或范围的集合

可以分为：

• 上界
• 同界
• 下界

一、5种渐近意义下的符号

1.渐近上界——大 O 符号

定义：

设 f 和 g是定义域为自然数集N上的函数。若存在正数 c 和 n0 ，使得 对一切 n > n0有 0 <f(n) < cg(n)成立, 则称f(n) 的渐近的上界是 g(n)，记作 f (n) = O(g(n))

例子：

设f(n) = n2 + n，则
f(n)=O(n2)，取 c = 2 ，n0 =1 即可
f(n)=O(n3)，取 c = 1 ，n0 =2 即可

1. f (n) = O(g(n)) ，f(n)的阶不高于g(n)的阶.

2. 可能存在多个正数c，只要指出一个即可.

3. 对前面有限个值可以不满足不等式.

4. 常函数可以写作O(1).

上界的阶越低，评估越准确

大O符号可以看作是<=号-------时间复杂度的最坏情况T(max)

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2.渐近下界——大 Ω 符号

定义：

设 f 和 g是定义域为自然数集N上的函数。若存在正数 c 和 n0，使得对一切 n > n0有 0 < cg(n) <f(n)成立, 则称f(n) 的渐近的下界是 g(n)，记作 f (n) = Ω(g(n))

例子：

设f(n) = n2 + n，则
f(n) = Ω (n2), 取 c = 1, n0 =1即可
f(n) = Ω(100n), 取 c=1/100, n0 =1即可

1. f (n)=Ω (g(n))，f(n)的阶不低于g(n)的阶.

2. 可能存在多个正数c，指出一个即可.

3. 对前面有限个 n 值可以不满足上述不等式.

下界的阶越高，评估越准确

大 Ω 符号可以看作是>=号-------时间复杂度的最好情况T(min)

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3.非渐近紧确上界——小 o 符号

定义：

设 f 和g是定义域为自然数集 N上的函数。若对于任意正数 c 都存在 n0，
使得对一切 n > n0有 <f(n) < cg(n)成立, 则记作f (n) = o(g(n))

例子：

f(n)=n2+n，则
f(n)=o(n3)
c>1显然成立，因为n2+n<cn3（n0=2）
任给1>c >0, 取 n0 >「2/c] 即可。因为cn > cn0 > 2 （当n > n0 ） n2+n < 2n2 < cn3

1. f (n) = o(g(n)) ,f(n)的阶低于g(n)的阶
2. 对不同正数c, n0不一样. c越小n0越大
3. 对前面有限个 n 值可以不满足不等式

如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }$ f (n) / g(n)=0，那么f(n) = o(g(n))

小 o 符号可以看作是<号`

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4.非渐近紧确上界——小 ω 符号

定义：

设 f 和 g是定义域为自然数集 N上的函数。若对于任意正数 c 都存在 n0 ，使 得对一切 n > n0有
0 < cg(n) <f(n) 成立, 则记作f (n) = ω (g(n))

如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }$ f (n) / g(n)=∞，那么f(n) = ω (g(n))

小 ω 符号可以看作是>号`

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5.同界—— Θ 符号

定义：

若f (n) = O (g(n)) 且f (n) = Ω(g(n)), 则记作f (n) = Θ(g(n))

例子：

f(n) =n²+ n, g(n) =100n² ，那么有f(n)=Θ(g(n))

1. f(n) 的阶与 g(n) 的阶相等.

2. 对前面有限个n 值可以不满足条件.

如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }$ f (n) / g(n)存在且等于某个常数，那么f(n) = Θ (g(n))

图解

二、有关函数渐近的界的定理

三、取整函数

总结

• 估计函数的阶的方法：
  计算极限
  阶具有传递性

• 对数函数的阶低于幂函数的阶，多项 式函数的阶低于指数函数的阶.

• 算法的时间复杂度是各步操作时间之 和，在常数步的情况下取最高阶的函 数即可.

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