算法比赛——必备的数论知识

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一、欧几里得

求最大公约数的一种常用方法

public static int gcd(int a, int b) {return b != 0 ? gcd(b, a % b) : a;
}

二、扩展欧几里得

求x，y使得ax+by = gcd(a,b)

	public static int exGcd(int a,int b,int x,int y){if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int d = exGcd(b,a%b,y,x);y -= (a/b)*x;return d;}

三、算术基本定理

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

证明参考：维基百科

四、线性筛选求质数

在O(N)的时间复杂度内，求出来1 ~ n中所有的质数，以及每一个数的最小质因子。

	private static void get_primes(int n) {for (int i = 2; i <= n; i++) {if (!st[i]) primes[cnt++] = i;for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {/*因为prime中素数是递增的，所以如果i%prime[j]!=0代表i的最小质因数还没有找到，即i的最小质因数大于prime[j]也就是说prime[j]就是i*prime[j]的最小质因数，于是i*prime[j]被它的最小质因数筛掉了*/st[primes[j] * i] = true; // 把质数的i倍筛掉/*如果当i%prime[j]==0时，代表i的最小质因数是prime[j]，那么i*prime[j+k](k>0)这个合数的最小质因数就不是prime[j+k]而是prime[j]了所以i*prime[j+k]应该被prime[j]筛掉，而不是后续的prime[j+k]，于是在此时break*/if (i % primes[j] == 0) break; // 通过最小质因子来筛}}}

五、等差数列

这俩个数列，学过高中数学的应该都清楚，我就不加以证明了。

1246. 等差数列

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;/*** @Author 秋名山码神* @Date 2023/2/17* @Description*/
public class Main {static int N = 100010;static int[] a = new int[N];public static int gcd(int a,int b){return b != 0 ? gcd(b,a%b) : a;//b!=0 , 递归计算gcd(b,a%b)}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();for(int i = 0; i<n; i++)a[i] = sc.nextInt();Arrays.sort(a,0,n);int d = 0;for(int i = 1; i<n; i++)d = gcd(d,a[i] - a[0]);if(d == 0){System.out.println(n);}else {System.out.println((a[n-1] - a[0]) / d + 1);}}
}

六、等比数列

P8636 蓝桥杯 2016 省 AB 最大比例

#include<iostream>
#include<algorithm>using namespace std;const int N=110;typedef long long LL;LL x[N],a[N],b[N];
int cnt=0;//假设原数列为 a,a*(p/q)^1,a*(p/q)^2,...,a*(p/q)^(n-1)
//假设抽取的数列  b0,b1,...,b(N-1)  (从小到大排好序了)
//  b1/b0,b2/b0,...,b(N-1)/b0-->  (p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1)
//  我们要求的是：  （p/q）^k  (p/q)>1,所以使k最大，即求 x1~x(N-1)的最大公约数
//这里我们使用更相减损术，因为我们没有得到确切的x1~x(N-1)是多少，我们只有(p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1)这些的值/*更相减损术：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。*///更相减损术总用较大的减去较小的
/*例子：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7
所以，98和63的最大公约数等于7。*///我们这里要用更相减损术的是指数，所以要让(p/q)^x1,(p/q)^x2,...,(p/q)^x(N-1)，两两计算，互除，除到结果为1,即x1=x2,此时幂次为0，结果为1，这其实就是y总的思路，再次感叹y总的才华
//把分子分母分别去算，结果是相同的因为，分子分母的幂次是相同的
LL gcd(LL a,LL b)
{return b? gcd(b,a%b):a;
}LL gcd_sub(LL a,LL b)  
{if(a<b)  swap(a,b);  //更相减损术总是大减小（它们的底数是一样的）if(b==1)  return a;return gcd_sub(b,a/b);
}int main()
{int n;cin>>n;for(int i=0; i<n; i++)  scanf("%lld",&x[i]);sort(x,x+n);for(int i=1; i<n; i++){if(x[i] != x[i-1]){LL d=gcd(x[i],x[0]);  a[cnt]=x[i] / d;  //得到x[i]/x[0]的分子b[cnt]=x[0] / d;  //得到x[i]/x[0]的分母cnt++;}}LL up=a[0],down=b[0];for(int i=1; i<cnt; i++){up=gcd_sub(up,a[i]);  //两两求最大公约数down=gcd_sub(down,b[i]);}cout<<up<<"/"<<down<<endl;return 0;
}

七、组合计数

加法原理 ： 若完成一件事的方法有n类，其中第i类方法包括ai种不同的方法，且这些方法互不重合，则完成这件事共有a1+a2+…+an种不同的方法。
乘法原理 ：若完成一件事，需要n个步骤，其中第i个步骤有ai种不同的完成方法，且这些步骤互不干扰，则完成这件事共有a1a2…*an种不同的方法

排列数 ： 从n个不同的元素中依次取出m个元素排成一列，产生的不同排列的数量为：

组合数 ： 从n个元素中取出m个元素组成一个集合（不考虑顺序），产生的不同集合的数量为：

计算系数

//杨辉三角做法：
#include<iostream>
using namespace std;
long long x[1010][1010];
int main()
{long long a,b,k,n,m;cin>>a>>b>>k>>n>>m;x[1][1]=1;for(int i=2;i<=k+1;i++) for(int j=1;j<=i;j++)x[i][j]=(x[i-1][j-1]*b+x[i-1][j]*a)%10007;cout<<x[k+1][m+1];return 0;
}

二项式做法

最后

数论的知识太多了，这是我最近三天想到的，后续有时间再补充吧！