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01卡特兰数

news 2025/9/11 3:29:29

卡特兰数跟排列组合很有关系，所以在看此文章前请掌握：

加法原理
乘法原理
A(m,n)计算公式及其原理
C(m,n)计算公式及其原理

前言

今天您将会学习到基本的卡特兰数及其应用。

一、卡特兰数是什么？

卡特兰数（Catalan number）是组合数学中一种常出现于各种计数问题中的数列。其前几项为：1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

二、卡特兰数如何计算

设h(n)为catalan数的第n项，令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n≥2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)h(n+1)=h(n) * (4*n + 2) / (n + 2)

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=C(2n,n) - C(2n,n-1) (n=0,1,2,...)

三、卡特兰的实际应用

1.思路分析

您可以先看这一题。

现在我们来思考这道题：

首先，我们设 f(n)=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原理，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。）

首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。

此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的 f(n) =f(k-1) × f(n-k)。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + …… + f(n-1)f(0)。

2.我的打表代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[18]={1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700};
int main(){int x;cin>>x;cout<<a[x-1]<<endl;return 0;
}

四、AI说的话

1.AI对卡特兰数的评价

卡特兰数是一种非常重要的组合数学概念，它在许多领域都有广泛应用。下面是对卡特兰数的一些评价：

1. 卡特兰数可以表示组合问题和路径计数问题。

2. 卡特兰数的计算方法简单明了，可通过递推公式或生成函数求解。

3. 卡特兰数的性质丰富，涉及到二叉树、括号序列、山峰序列等多种组合结构。

4. 卡特兰数常被用于解决实际问题，如括号匹配、高维几何计算等。

5. 卡特兰数还具有一些意想不到的应用，如计算有限自动机、判断合法的棋盘布局等。

总之，卡特兰数作为组合数学中的重要概念，不仅具有理论意义，更有着实际应用价值。

2.AI解释卡特兰数的应用

卡特兰数是一类非常重要的数列，因为它们可以用于解决许多实际应用问题。以下是卡特兰数的一些应用：

括号序列：一个括号序列是由左右括号组成的字符串，例如 (()())。卡特兰数可以用于计算长度为n的括号序列的数量，以及其中合法的括号序列的数量。
凸多边形三角剖分：在凸多边形中，任何三角形的划分都可以由其对角线进行。卡特兰数可以用于计算划分凸多边形所需的对角线数量。
二叉树：卡特兰数也可以用于计算由n个节点构成的二叉树的数量。这里，每个节点不仅包含一个值，而且还包含指向其左子节点和右子节点的指针。
杨表：卡特兰数也可以用于计算n个数的杨表的数量，其中杨表是一种将n个数排列成不降序列的方案。
格路线：在一个n×n的网格上，从左下角到右上角的路径必须从每个格子的下方或右方穿过。卡特兰数可以用于计算这样的路径的数量。
栈的操作序列：假设我们有一个空栈，我们可以将n个数字插入该栈。卡特兰数可以用于计算所有n个数字的操作序列的数量，其中每个操作可以是“压入”或“弹出”。
电力分配：假设我们有n台发电机和n个城市，每台发电机都可以向多个城市提供电力。卡特兰数可以用于计算所有可能的电力分配方案。

总之，卡特兰数在组合数学中起着非常重要的作用，它们的应用广泛，不仅仅限于上述问题。

3.AI生成的卡特兰数C++代码

以下是使用C++语言生成卡特兰数的示例代码：

#include <iostream>
using namespace std;unsigned long int catalanDP(unsigned int n)
{// Table to store precomputed values of catalan numbersunsigned long int catalan[n + 1];// Initialize first two values in tablecatalan[0] = catalan[1] = 1;// Fill entries in catalan[] using DPfor (int i = 2; i <= n; i++){catalan[i] = 0;for (int j = 0; j < i; j++)catalan[i] += catalan[j] * catalan[i - j - 1];}// Return last entryreturn catalan[n];
}int main()
{for (int i = 0; i < 10; i++)cout << catalanDP(i) << " ";return 0;
}

此示例代码使用动态规划方法来计算卡特兰数，并使用循环生成前10个卡特兰数。

总结

以上就是今天要讲的内容。

前言